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函数一致连续的判别方法及其应用 摘要 函数一致连续性是数学分析的重要概念，一般教材只给出一致连续的概念及Cantor定理，没有做更深入的研究。本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，从充要等条件出发进行深入的分析和系统的总结。 关键词：一致连续 积分 导数 Cantor定理 基本初等函数 Abstract The uniform continuity of function is an important concept of mathematical analysis. General textbooks only show the concept of uniform continuity and the Cantor theory, without a more in-depth study. This thesis comprehensively summarize the conditions to judge the uniform continuity of functions, combined with specific examples of these methods to be applied, and made a more complete discussion of the uniform continuity of the basic elementary functions, with in-depth analysis and summary, starting from the necessary and sufficient conditions. Keywords: uniform continuity integral derivative Cantor theorem Basic elementary function 目录 摘要 Ⅰ Abstract Ⅱ 第一章 引言 1 第二章 一致连续的充要条件 2 第三章一致连续的充分条件 10 第四章 函数一致连续的应用 16 4.1 应用一：基本初等函数的一致连续性的应用 16 4.2 应用二：反函数的一致连续性的应用 18 4.3 函数的四则运算的一致连续性 21 总结 24 致谢 25 参考文献 26  第一章 引言 我们知道，函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍，重要而又抽象的数学概念之一，它体现在某个区间上的整体性质，是微积分学的基础，并且对后续课程的学习起着关键作用。弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一致连续是函数的一个重要性质, 它对确定函数的性态有重要作用在某区间内连续，是指函数在该区间内每一点都连续，它反映函数在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数的变化趋势及性质。因此，在讨论函数的一致连续性时，通常应用函数一致连续的定义或一致连续的定理，但使用函数在区间上一致连续的定义证明较为复杂，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，并结合具体例子对这些方法加以应用，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。 现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充。  第二章 一致连续的充要条件 在区间I上连续是指在I上每一点都连续,在I上一致连续则是反映在I上整体性质的更强的连续性概念。 2.1函数一致连续的定义 函数一致连续的定义：设函数在区间上有定义，若||＜称函数在I一致连续（或均匀连续）。 2.2一致连续的充要条件 定理1：康托定理：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。 证明：若上述事实不成立，则至少存在一个，使得区间不能按上述要求分成有限多个小区间。将二等分为 、则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为；再将二等分为 、依同样的方法取定其一，记为；......如此继续下去，就得到一个闭区间套，n=1，2，… ，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足 ① 且属于所有这些闭区间，所以，从而在点连续，于是， 当时,就有 。 ② 又由①式，于是我们可取充分大的k，使,从而对于上任意点，都有。因此，对于上的任意两点， 由②都有