函数零点和极值教案.docx

第三讲 函数的极大（小）值和最大（小）值核心考点了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次). 会利用导数解决某些实际问题.1. 内容梳理函数的极值与极值点的定义：已知函数，是定义域内任意一点，若对附近的所有点x, 都有（或），则称函数在点处取极大（小）值，并称为极大（小）值点. 函数的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）值.利用导数求函数极值的方法：(1)求导数；(2)求方程的所有实数根；(3)考查在每个根附近，从左到右，若的符号由正变负（由负变正），则是极大（小）值. 若在附近的左右两侧符号不变，则不是极值.利用导数求函数最大（小）值的步骤：求函数在开区间内使的点；计算在开区间内使的所有点和区间端点的函数值，其中最大（小）的一个为最大（小）值.利用导数判定函数的极大（小）值或最大（小）值，都是以不等式的形式呈现，体现出函数极大（小）值和最大（小）值与导数、不等式的紧密联系，是试题综合性的重要体现.2. 典型例题例1 函数在处取得极小值.思路分析求导；解方程求出；考查在附近，的符号的变化.参考答案令得或当时，单调递减；当或时，单调递增，故函数在处取得极小值.反思总结这是一道求极值点的试题，是容易题，只要按照方法和步骤操作，就能解决问题，但求解过程中综合考查函数、导数与方程、不等式的命题意图十分明确.拓展训练1（2012陕西高考，理7）设函数，则（）A. 为的极大值点 B.为的极小值点C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学例2 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有( )A．1个 B．2个 C．3个D．4个思路分析观察导函数在内的图象，既要关注方程的所有实数根的个数，又要满足在根附近，从左到右，的符号应是由负变正.参考答案导函数f(x)在(a ,b)内的图象与x轴有4个交点．但只有从左边数第二个交点x=x0满足xx0时， f(x)0；xx0时， f(x)0．即在x0附近，当xx0时，f(x)递减；当xx0时，f(x)递增．所以x=x0是极小值点．其他交点均不符合极小值点的条件．故选A．反思总结此题揭示了极值点的数量特征与导函数图象的几何特征的密切联系，体现了考查数形结合的数学思想的命题意图，把握极值与最值与导函数图象的联系是判定极值与最值的有效方法．拓展训练2（2012重庆高考，理8）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值例3 若函数在处取极值，则.思路分析依题意，是方程的根，可以依此确定参数的值.参考答案由，依题意解得反思总结依据极值的定义，将问题转化为由是方程的根求的值，函数、导数与方程的联系自然又密切，命题的导向作用十分明确，既体现综合性，又有效控制难度，这就是近几年的命题趋势.拓展训练3（2012重庆高考，理16）设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的极值. 例4 设R，若函数（R）有大于零的极值点，则( )A. B. C. D.思路分析函数（R）有大于零的极值点，就是方程有大于零的实数根.参考答案，依题意，可知且，解得故选B.反思总结这是一道中等难度的综合性试题，运算量不大，但函数、导数与方程、不等式的联系自然而且紧密，求导，解方程，由方程有正实根，转化为关于a的不等式，并求解，脉络清楚，一气呵成，应加强训练，有效应对.拓展训练4（2012全国大纲高考，理10）已知函数的图象与x恰有两个公共点，则c＝（）A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1例5 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=，则S的最小值是________ ．思路分析S的变化取决于平行于底边的直线的变化，应选择刻画平行于底边的直线的变化的量为自变量，并建立表示S的目标函数参考答案设，则梯形DBCE的周长为，面积为.所以因为，当时，S(x)单调递减，S(x)单调递增．故时，S取得最小值反思总结这是一道由图形的变化引发的最小值的问题，考察图形的变化，选好自变量，建立目标函数是关键. 找到目标函数后，利用导数求最小值就顺理成章了.拓展训练5（2011福建高考，理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品