函数的极限13-3.ppt

●基础知识 一、当x→∞时，函数f(x)的极限 1．当自变量x取 值并且 增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作 . 3．不连续和不连续点：如果函数y＝f(x)在点x＝x0对连续的三个条件中有 不具备，那么函数f(x)在点x＝x0处不连续，则点x＝x0称为此函数的 点． 4．开区间上的连续：函数f(x)在区间(a，b)内 均连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续． 五、连续函数的性质 1．(最大值和最小值定理)如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有 和 ． 2．若f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数，且 ，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上 有一个实数解． 4．初等函数(二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)在其 内是连续的，即在定义域内 均连续． ●易错知识 一、函数极限应注意的几个问题 (1)自变量x→＋∞和x→－∞都是单方向的，而x→∞是双方向的，它包括了x→＋∞与x→－∞的两个方向，因而对于f(x)＝a成立有如下的等价命题： (2)函数f(x)在点x＝x0处的左极限、右极限都是单侧极限，而函数f(x)在x＝x0处的极限为双侧极限，应理解为x可用任何方式无限趋近于x0，即可以从表示x0的左边的点无限趋近于x0，还可以从表示x0的右边的点无限趋近于x0，也可以从表示x0的点的两侧交错地无限趋近于x0，只要x→x0，就有f(x)→a，这里也存在一个等价命题： 答案：4 三、开区间上的最值情况与闭区间上的最值定理混淆 3．若f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在区间(a，b)内的最值情况是____________． 答案：不一定存在 ●回归教材 1．极限 存在是函数f(x)在点x＝x0处连续的 (　　) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 解析：由连续的定义 ＝f(x0)，而f(x0)在x0处是否有定义不可知，故 在x＝x0处连续，而反过来成立，故选B. 答案：B 2．(2010·四川，2)下列四个图象所表示的函数，在点x＝9处连续的是 (　　) 解析：A项在x＝0处无定义； B项在x＝0处左右极限不相等； C项在x＝0处左右极限相等但不等于函数值．故选D. 答案：D 答案：B 答案：D 解析：∵函数f(x)在点x＝0处连续，02－1＝acos0， ∴a＝－1. 答案：－1 点评：在数列极限中n→∞只表示n→＋∞，在函数极限中，x→∞表示x→＋∞和x→－∞两种变化趋势，故在研究讨论“x→∞时f(x)的极限”时需分别讨论x→＋∞和x→－∞两种变化趋势下的f(x)的极限． 自变量x→x0时，先将x0代入函数式，若函数值存在，则函数值为极限值，若函数值不存在，应进行化简消去因此x→x0，再代入x0求出极限． 思路探究： (1)求f(x)在x＝1处的左、右极限，并判断在点x＝1处f(x)的极限是否存在； (2)f(x)在x＝1处是否连续； (3)求函数f(x)的连续区间； (2)由上式可知，函数f(x)在x＝1处极限不存在， 所以函数f(x)在x＝1处不连续． (3)由函数的解析式可知函数的连续区间为(0,1)，(1,3]． (4)由连续函数的定义可求得 反思归纳：注意函数在某点处的极限存在与函数在该点处连续之间的关系，若函数在某点处连续，则必须保证函数在该点处有意义，且在该点处极限存在且极限值为函数在该点处的函数值. 分析：(1)根据函数极限求参数，需要先对函数式变形化简，利用条件逆向思维求解可得； (2)可设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法及函数极限的定义求得． 探究拓展：准确地求出函数的极限是最基本的要求，而根据函数的极限求参数则更是进一步对知识灵活运用的一种体现．此类题目要以所给极限值为突破口，寻求参数满足的条件，待定系数法是一种常用的方法． 解析：(1)令x2＋ax＋b＝(x－2)(x＋c)， 则x2＋ax＋b＝x2＋(c－2)x－2c， ∴a＝c－2，b＝－2c， 1．函数连续性和函数的极限既有区别又有联系，不可混淆，不能等同．讨论函数连续性，要从其定义及其充要条件入手． 2．函数连续性有重要的应用，借助函数连续性可以求函数极限，求待定字母参数的值，讨论方程根的