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动态系统理论 Contents 一、系统的状态 何为系统的状态？ 系统存续运行中表现出来的整体的状况或态势，称为系统的状态。 例：国家的经济状况、运动员的竞技状况、战场的态势。 一、系统的状态 一、系统状态—状态变量 一、系统的状态 一、系统的状态 二、系统的分类 二、系统的分类 二、系统的分类 三、系统的演化过程—轨道 三、系统的演化过程 三、系统的演化过程—定态 三、系统的演化过程 四、系统的行为特性—稳定性 四、系统的行为特性—稳定性 四、系统的行为特性—稳定性 四、系统的行为特性—稳定性 四、系统的行为特性—稳定性 四、系统的行为特性—稳定性 四、系统的行为特性—稳定性 四、系统的行为特性—目的性 四、系统的行为特性—目的性 四、系统的行为特性—目的性 四、系统的行为特性—分叉 四、系统的行为特性—分叉 四、系统的行为特性—突变 四、系统的行为特性—突变 四、系统的行为特性—回归 四、系统的行为特性—瞬态 回顾 Thank You! 系统是在充满各种扰动因素的环境中产生出来并存续运行的， 受到扰动后能否恢复和保持原来行为的恒定性，就是稳定性问题。通常采用李亚普诺夫的稳定性定义。 扰动的结果 初态偏离小于 在一定时刻后的全过程中每一时刻的偏差都小于任意指定的小数 图4.7 在时间域上示意轨道的稳定性 L渐近稳定 如果初值偏离足够小，那么由扰动引起的轨道偏离随时间延伸而趋于0。L渐进稳定是对稳定性更严格的规定，要求误差最终完全消除，回到原轨道。 以上定义的稳定性是系统的局部性质，只要求在初值的某个领域内成立，称为局部稳定性。 中心点 鞍点 中心点是L稳定的，但不是L渐近稳定的。 只要扰动足够小，偏离也足够小，但不会趋于原点 鞍点是稳定性与不稳定性的统一， 总体上不稳定 焦点 稳定焦点 不稳定焦点 结点 稳定结点 不稳定结点 极限环 稳定极限环 不稳定极限环 趋向极限环 远离极限环 内部稳定性 外部稳定性 轨道稳定性 输出-输入稳定性 通常采用李雅普诺夫稳定性定义（小扰动引起小偏离 ） 一个有界输入必定只能产生一个有界输出 稳定性 目的态 特征三：吸引性 根本要素，只要系统尚未达到目的态，现实状态与目的状态间必存在非0吸引力 特征一：终极性 “安于现状” 自身不再愿意或者无力改变这种状态 新的概念 相空间中满足以上3个条件的点集合A，被称为动力学系统的吸引子。 特征二：稳定性 系统自身质的规定性只有在稳定的状态中才能确立并得到保持 吸引子的特点 终极性 稳定性 吸引性 低维性 一切暂态均被排除，吸引子只能是定态。 稳定而无吸引性的定态被排除于吸引子的候选行列，如中心点。 一切不稳定的焦点、结点、极限环、鞍点均不可能充当吸引子，吸引子必须是稳定态。 满足的条件 相应的特点 吸引子的维数必定低于空间的维数。 系统寻找目的态 的过程必定是 降维的过程。 所谓目的，就是在给定的环境中，系统只有在目的点或目的环上才是稳定的，离开了就不稳定，系统自己要拖到点或环上才能罢休。 钱学森 凡存在吸引子的系统，均为有目的的系统，在演化过程中均表现出“不达目的不罢休”的行为特征。 不动点 奇怪 吸引子 极限环 及环面 吸引子 类型 四、系统的行为特性—目的性 一维系统:0维吸引子（不动点） 二维系统:0维和1维（极限环）吸引子 三维系统:0、1、2（环面）吸引子 复杂系统:吸引子可能不是整数维的点集，即奇怪吸引子 动力学系统的演化序列： 秩序→复杂性→混沌 复杂性 吸引子 四、系统的行为特性—目的性 吸引域 当相空间中存在几个吸引子时，整个相空间将以他们为中心划分为几个区域，每个区域内的轨道都以该吸引子为归宿，称为该吸引子的吸引域或流域。 e.g.雨水流往江河湖泊 系统向哪个吸引子演化，取决于初态落在哪个吸引域。（“遗忘机制”） 四、系统的行为特性—目的性 排斥子 排斥子对附近的轨道没有吸引力，反而有排斥力。不稳定的结点、焦点、极限环、环面被称为排斥子。 远离极限环 不稳定极限环 排斥子 吸引子 源 汇 四、系统的行为特性—分叉 分叉 控制参量变化所引起的系统定性性质的改变，叫做分叉。 分叉点 控制空间中引起分叉现象的临界点，叫做分叉点。 思考 现实生活中的分叉现象？例子：人生的分叉点——转行 不动点方程为： 当a0时，只有一个实数解x=0，代表系统的稳定平衡态 当a0时，有3个不动点： 代表3个平衡定态。 a=0为分叉点，当a从负向增大而跨过这一点时，系统由1个定态变为3个定态，标志着系统定性性质改变了。而除了这一点，a的变化只引起系统量变。 四、系统的行为特性—分叉 数学例子：一维系统