【精选】弘毅考研_20122数学讲座43-44.pdf

2012 数学讲座（43—44 ）矩阵的秩四讲 第 7 讲。矩阵，向量“秩”一致 矩阵“秩”的定义是用行列式来描述的。但是要从理论上深入讨论矩阵的“秩”，用向 量工具更为方便。 1．向量组的最大无关组与秩 讨论向量组的线性相关性，其应用背景是， “一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？” 因而我们相应最关心，“一个向量组中，最多有几个向量能线性无关，即相互独立。” 最大无关组 —— 如果一个向量组的子组线性无关。且把组内别的任何一个向量添加进去，得到的新子 组都一定线性相关。则称此线性无关的子组是向量组的一个最大无关组。 向量组的“秩”—— 一个向量组可能有好些个最大无关组。但是，最大无关组中含有的向量个数必定相同。 （由后述“基本定哩”保证。）称为向量组的“秩”。 最大无关组的基本作用 —— 唯一地线性表示组内每一个向量。 （*画外音：如果给最大无关组中向量一个排立顺序，就能使组内各向量与“有序（系） 数组”成一一对应，这就自然生成了向量集合内的“坐标”。） 有趣的是，最大无关组如何唯一地线性表示 自身内部的任一向量呢？当然只能是自己 的系数取 1，其它的系数为 0 ；因为它们彼此之间不存在任何线性关系。 （*潜台词：任何一个最大无关组，作为“坐标基“，它自身的“坐标”总是“单位向 量组” （1，0，… ，0 ） ，（0，1，… ，0 ） ，…… ，（0，0，… ，1） ） 对向量组而言，最大无关组是个客观存在。你需要用它的时候，你就把它设出来。 一个在研考题中最常见却又最简单的事实是，“如果一个向量组共有 k 个向量，又已知 其中的 k－1 个向量线性无关。则向量组的秩为 k－1，该无关组就是它的最大无关组。” 例 44 （1） 向量组增加一个（或一些）向量而秩不变，则新增的那个（些）向量可以 被原组向量线性表示。 v v （2 ）若向量组 v v a , , a , L βv v β a , a , L 线性无关。而向量组 1 k 线性相关，则向量 可以 1 k a 由, a , Lv v 线性表示。 1 k 分析 （1） 因为新组包含旧组，且，新组的秩 = 旧组的秩，故旧组的最大无关组也 是新组的最大无关组。新增的向量可以被旧组的最大无关组线性表示。 其它向量都给以零系数加上去，则新增的向量被原组向量线性表示。 （潜台词：向量组增加一个向量，其秩或不变，或增加1） v （2 ） 显然，向量组 v v a , , a , L βv v a , a , L 是向量组 1 k 的最大无关组。故题断成立。 1 k 或用定义直接讨论： c , c , c , L 由已知条件及线性相关的定义， 存在一组不全为 0 的数 1 k k +1 使得 v c a+ + c a=+ c v L v β 0 1 1 k k k +1 1 若系数 ck +1 0 ，则由已知线性无关性得 c