【精选】弘毅考研_第35讲.pdf

第 35 讲。曲线积分与场论 向量曲线积分的学习内容分两块。第一块是积分定义与算法（投影法）。第二部分是“有 势场”的四个等价定理。两者之间，格林公式是桥梁。它既使向量曲线积分算法丰富多彩， 又是证明“等价四定理”的基本出发点。 考研数学在“场的奇异点”问题上远超教材，但此内容单一，关键是要熟悉“复连通 域上的格林公式”及其推论。 积分的数学定义繁杂，考生只需理解向量曲线积分的物理背景，进而知道积分的由来。 物理模型与微量分析 —— “计算常力作功”，可以说是向量数量积（内积）的起源模型。即若质点在常力F 的作 用下有位移矢量L ，则常力F作功 W = | F| cos α |L| = F ٠L ，其中，α是两矢量的夹角。 向量曲线积分的物理背景是力场中场力作功的问题。 已知平面力场 ，在此平面力场中，若沿路径L 指定方向移 F P x y i ( Q, x) y j ( , ) + 动质点，设在 L 上任意一点 M 处，有L 的微段，其微弧长d s ，要考查功的微量，力矢量 F M ( )P M ( i ) Q M ( j ) + ，而位移矢量 dl 用两要素表示，指向为切方向（单 自然取 位向量），模长 d s ，即 0 ′ ′ ′ 2 2 ′1 − ′2 ′2 ds x ( t ( y), t ( ))(x t ( )y t ( )) x t ( )y t (dt) dxτ( dy, ) + × + dl F dl P M=•dx Qdw(M )dy+ ( ) 故，功（场力（或反抗场力）作功）的微量 W F dl P x y dx Q x y=⋅dy( , ∫) (∫, ) + dl dx( dy, ) L L