【精选】微分中值定理历史与发展.pdf

V01．11。No．5 高等数学研究 Sep．，2008 STUDIESlNCOLLEGEMATHEMATICS 59 微分中值定理历史与发展一 卢玉峰 (大连理工大学应用数学系 辽宁大连 116024) 摘要 本文简述了罗尔微分中值定理、拉格朗且中值定理和柯西中值定理产生的历史背景}详细总结了这 些中值定理在各种情形下的推广和进一步发展 关键词 罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理 中图分类号0172．1 微分中值定理是微分学的基本定理之一，研究函数的有力工具．微分中值定理有着明显的几何 U一“ 的瞬时速度恰好是它的平均速度． ． 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代．古希腊数学家在几何研究中，得到 如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情 况．希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积． 形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线 平行于曲线的弦．这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理． 人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了．1637年，著名法国数学家费马 (Fermat)在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定 法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明．对微分中值 目标，对微积分理论进行了重构．他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理．在 《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推 广为广义中值定理一柯西定理．从而发现了最后一个微分中值定理． 1．微分中值定理产生的历史 微积分中值定理产生形成的历史，在文献[1]一[5]中都有详细的叙述． 费马对微积分作出过重要的贡献．他在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟 等式法”，从而得出原始形式的费马定理[1]，[2]．所谓的虚拟等式法，用现代语言来说，对于函数 -收稿日期：2007—12—24；修改日期：2008—05—08 ”基金项目：教育部高等理工教育数学基础教学改革与实践项目：数学建模思想融入“微积分”课程教学的研究与实践·教高 司函(2007)143号 60 高等数学研究 式，丛三土兰L二一丛型≈0，然后让P一0，就得到函数极值点的导数值为0，这就是费马定理：函数 刨阶段，并没有明确导数，极限连续的概念，用现代眼光来看，其论断也是不严格的．现在看到的费 马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的． 书上罗尔定理的特例．也就是以上定理被称为罗尔定理的原因．最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅 内容有所不同，而且证明也大相径庭，它是罗尔利用纯代数方法加以证明的，和微积分并没有什么 联系．现在看到的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新证明，并把它推广为一般函数．“罗尔定理” (Bellavitis)在1846年发表的论文中正式使用的． 拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理．它是指：“厂(z)在[口，6]上连续，在(口，6)上可 坐兰』—型必取A，B之间一个值．” 历史上拉格朗日定理证明有三个，最初的证明是拉格朗日在《解析函数论》中给出的．这个证 的中值定理，却需厂(上)在[口，6]上可导，并存在连续导数．并且所用连续概念，也是直观的，“假设 变量连续地变化，那么函数将会产生相应变化，但是如果不经过一切中间值，它就不会从一个值过 渡到另一个值．”十九世纪初，在以柯西等为代表的微积分严格化运动中，人们给出了极限，连续， 导数的严格定义，也给拉格朗日中值定理以新的严格证明，柯西在《无穷小计算概论》中证明了：如 deCalculDifferentielet 理，是由法国数学家博(0．Bonnet)在其著作((Cours integral))中给出的，他 不是利用／(z)的连续性，而是罗尔