【精选】微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解.doc

第三章 习题3-1 设s=gt２，求． 解： 设f(x)= ，求(x0) (x0≠0)． 解： 3．（1）求曲线上点（2，4）处的切线方程和法线方程； （2）求过点（3，8）且与曲线相切的直线方程； （3）求上点（2，）处的切线方程和法线方程； （4）求过点（2，0）且与相切的直线方程。 解：略。 4． 下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么： (1) =A; (2) f(x0)=0, ＝A； (3) =A． 解：(1) (2) (3) 5． 求下列函数的导数： (1) y=；(2) y=；(3) y=． 解：(1) (2) (3) 6． 讨论函数y=在x=0点处的连续性和可导性． 解： 函数在点处连续但不可导。 7． 试由倒数定义，证明：若f(x)为可导的奇（偶）函数，则f′(x)是偶（奇）函数。 证：为偶函数 ，即 故 8． 求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导： (1) y＝； (2) y=． 解：(1) 函数在处不可导。 (2) 函数在处不可导。 9． 设函数 f(x)= 为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值? 解：为使在处连续，必须， ， (1) 为了使在处可导，必须 ，代入（1）式得 当，时在处连续且可导。 10※． 证明： 双曲线xy＝a２上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2． 证：设是双曲线上任一点，则，该双曲线在 处切线的斜率 该双曲线在处切线的方程为： 令得该切线在轴上的截距为， 令得该切线在轴上的截距为，于是，它与两坐标轴构成的三角形的面积。 11． 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)＝10t－gt２(m)，求： (1) 物体从t=1(s)到t=1．2(s)的平均速度； (2) 速度函数v(t)； (3) 物体何时到达最高点． 解：(1) (2) (3)当时，物体到达最高点。 由即得 即上抛时物体到达最高点。 12． 设物体绕定轴旋转，在时间间隔［0,t］内，转过角度θ，从而转角θ是t的函数；θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称ω＝为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度? 解：设从时刻到间转过的角度为，则 物体在时刻的角速度为。 13※．已知f(x)在x=x０点可导，证明： =(＋β)f′(x0)． 证：当，时， 习题3-2 1． 求下列函数的导数： (1) s=3lnt+sin； (2) y=lnx; (3) y=(1-x２)·sinx·(1-sinx); (4) y=； (5) y=tanx+eπ； (6) y=-3secx; (7) y=lnx-2lgx+3log2x; (8) y=． 解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2． 求下列函数在给定点处的导数： (1) y=xsinx+cosx，求； (2) f(x)= +,求f′(0)和f′(2); (3) f(x)= 求f′(1)． 解：(1)