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微积分思想的产生与发展历史 陈纪修 在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对 于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需要， 人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何根据 路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的 路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一 般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相 同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量 在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者导致 了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 一．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前4世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述： “至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一就是 无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”更是 道出了无限分割的极限思想。 公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割 求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边形 的边长来逼近圆周，得到了 3.141024  3.142704 ， 并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。” 我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发 展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后 人称之为“祖暅原理”) ：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。” 用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们 的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 {x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 }；将圆柱体 {x 2 y 2 R 2 , 0 z R }减去（即挖 去）倒立的圆锥{x 2 y 2 z 2 , 0 z R }视为另一个几何体。则对任意的 0 z R ，过(0, 0, z) 点作水平截面，得到的截口面积相等，都为 2 2 4 3 (R z ) ，由此得到球体的体积为V R 。 3 二．十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon ）创立了“穷竭法”， 认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。公元 前2世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes ）对“穷竭法”作出了 巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物弓形的面 积，他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积， 这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿基米德首 先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。阿基米德 的著作代表了古希腊数学的顶峰。 1615年，德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）用无穷小微元 来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆周 上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底，于是 圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。他把球看作面数无限多的多面 体，球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底，于 是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。他还用无穷小方法 精确地计算出酒桶的体积，并写了《测量酒桶体积的新科学》，书中 包含了87种不同的旋转体的体积计算。 开普勒最重要的贡献是提出了行星运行三大定律：（1）行星在 椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。（2 ）从太阳 到行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。（3 ）行星绕太阳公 转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。可以说这是天文 学上划时代的贡献，也是数学史上重要的里程碑。牛顿就是应用开普 勒的行星运行三大定律，通过严格的数学推导，发现了万有引力定律。 为了确定