【精选】必修4第二章平面向量讲义第三讲.doc

向量的坐标运算及数量积 本讲义主要内容： 第一部分：【知识回顾】 知识点一 向量的坐标运算 若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) (2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2) (3)数乘：??a＝(??x1，??y1) (4)数量积：a·b＝x1x2＋y1y2 (5)若a＝(x，y)，则 (6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (8)a在b方向上的正射影的数量为 知识点二 重要定理 (1)平行向量基本定理： 若a＝??b，则a∥b，反之：若a∥b，且b≠0，则存在唯一的实数??使得a＝??b (2)平面向量基本定理： 如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使a＝a1e1＋a2e2 (3)向量共线和垂直的充要条件： 若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 则：a∥bx1y2－x2y1＝0，a⊥bx1x2＋y1y2＝0 (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 第二部分：【经典例题】 【平面向量的坐标】 题型一 求向量的坐标 【例题1】如图所示，若,与轴正方向夹角为30°，求向量的坐标. 【例题2】的三个顶点的坐标分别是，为的中点，求向量. 题型二 由向量相等求参数的值 【例题3】已知向量，若，求的值. 题型三 平面向量的坐标运算 1. 向量坐标运算的直接应用 【例题4】已知平面向量，则向量=（ ） A. B. C. D. 2. 利用向量坐标运算求点的坐标 【例题5】已知且,求的坐标. 3. 利用向量坐标运算表示向量 【例题6】已知是内一点，,设 且，试用，表示. 题型四 向量平行的判断与证明 【例题7】已知三点的坐标分别为， ,Q求证：∥. 题型五 由向量平行求参数问题 【例题8】（易错题）设点，若向量与共线且同向，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 题型六 三点共线问题 【例题9】如果向量，其中分别是轴，轴正方向上的单位向量，试确定实数的值，使三点共线. 题型七 利用向量坐标解决平面几何问题 【例题10】如图所示，已知直角梯形,,,过点作于，为的中点，用向量的方法证明. （1）∥； （2）三点共线.. 题型八 向量数量积的概念、性质、运算律的辨析 【例题11】已知是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①∥;②与同向;③;④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例题12】下列判断：①若，则；②已知是三个非零向量，若，则；③；④；⑤若，则；⑥，则或.正确的有_______________. 题型九 求向量的摄影或数量积 【例题13】如图所示，在平行四边形中，,求： （1）；（2）；（3）；（4）在方向上的射影.. 【例题14】设，向量与的夹角为30°，向量与的夹角为60°. 化简：（1）；（2）. 题型十 求向量的模 【例题15】已知，向量与的夹角为60°，求. 【例题16】设函数的最大值为0，最小值为-4，且与的夹角为45°，求. 题型十一 结论的应用 【例题17】已知是非零向量，当（）的模取得最小值时，求证：. 【例题18】已知，向量的夹角为60°，.当为何值时，与垂直？ 题型十二 求参数的取值范围 【例题19】（易错题）设两个向量满足，的夹角为60°，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 第三部分：【实战演练】 【实战演练一】 1. 已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且与平行，则等于（ ） A. 1 B. 2