一维小波变换-Read.PPT

平均与细节 设一维信号{x1，x2} 平均 细节 则一维信号可以表示成{a，d},且原信号可以恢复如下： 当x1与x2非常接近时，一维信号{x1，x2}可近似的用{a}表示，可实现信号压缩。 a可以看成信号的整体信息 d可看成原信号用a表示时丢失的细节信息 平均与细节 对多元素信号{x1，x2，x3，x4} 平均与细节 {x1，x2，x3，x4}－最高分辨率信息 {a1,0,a1,1}－次高分辨率低频信息 {d1,0,d1,1}－次高分辨率细节信息 {a0,0}－最低分辨率低频信息 {d0,0}－最低分辨率细节信息 金字塔算法 尺度函数与小波函数 引入记号： 4×4图像的二维Harr小波变换 Haar小波 离散小波变换 离散小波变换就是做向量的内积。 例：对（64， 2， 3， 61， 60， 6， 7， 57）做Haar小波变换 * * 小波变换 小波变换既有频率分析的性质，又能表示发生的时间，有利于分析确定时间发生的现象，傅立叶变换只具有频率分析的性质。 小波变换的多分辨率的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图像压缩、边缘抽取、噪声过滤）。 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信号可由小波系数来刻画。 小波变换速度比傅立叶快一个数量级，长度为M的信号，计算复杂度： 傅立叶变换： 小波变换： 设有信号f(t): 其傅里叶变换为F(jΩ): 即： = + + Ψ（t） 1/2Ψ（2t-t0） 2/3Ψ（4t-t1） 像Ψ(t)这样，有限长且均值为0的函数称为小波函数。 常用的小波函数如下图： 小波函数必须满足以下两个条件的函数： 小波必须是振荡的； 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。如： 图1 小波例1 图2 小波例2 不是小波的例子 图4 图3 信号可以表示为：{a1,0,a1,1,d1,0,d1,1} 丢失细节信号压缩为： {a1,0,a1,1} 信号可进一步表示为：{a0,0, d0,0} 丢失细节信号压缩为： {a0,0} {x1，x2，x3，x4}的小波变换{a0,0,d0,0,d1,0,d1,1}由整体平均和两个不同分辨率的细节信息构成 一维信号{3,1,-2,4}的小波变换为{1.5,0.5,1,-3} {1.5}：最低分辨率低频信息 {0.5}：最低分辨率细节信息 {2,1}：次高分辨率低频信息 {1,-3}：次高分辨率细节信息 {3,1,-2,4}：最高分辨率信息 信号序列{x1，x2，x3，x4}看成单位区间上的一个函数 平移 伸缩 定义： 可得： 其它 其它 函数可以由一个尺度函数的伸缩与平移的线性组合表示 同理，对小波变换 其它 伸缩和平移 序列的多分辨率表示： 行小波变换 列小波变换 左上角二维小波变换 1.1 一维小波变换（一维多尺度分析） 设有L2(R )空间的子空间序列： Vj 的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数?(x)经伸缩平移得到的 设Wj 是Vj 相对于Vj+1的正交补空间， Wj 的正交基函数是由一个称为小波函数的函数?(x)经伸缩平移得到的 构成Vj+1的正交基。 满足下列关系式(二尺度方程)： 信号的多尺度分解： 求得小波系数的算式就是小波正变换。 该式也可以理解为f(x)和Ψa,b(x)内积，小波系数表示二者的相似程度，或f(x)中含有Ψa,b(x)成分的多少 。 小波系数有a和b两个自变量，分别代表不同的尺度（时间）和频率，所以小波分析属于时频分析。 （1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8 ） （1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8） （1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4, 0, 0, 0, 0） （ 0, 0 , 0, 0, 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4） （1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0, 0, 0） （ 0, 0 , 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0） （ 0, 0 , 0, 0, 1/2, -1/2 , 0 , 0） （ 0, 0 , 0, 0, 0, 0,