离散数学 4.2.2常系数线性微分方程的解法.ppt

* * 2、欧拉(Euler)方程 形如 的方程,称为欧拉方程.这里 是常数。 方法(1)： 引进变换 由归纳法原理可知 其中 都是常数，将上述关系式代入(4.29) 得常系数齐线性方程. 其中 都是常数。 因而可以用常系数方程的解法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量 就可得到方程(4.29)的通解. 把上式入原方程得 故原方程的通解为: 解：作变换 则 上述方程的通解为: 例8 求解方程 方法(2): 从上述推演过程，我们知道(4.30)有形如 的解，从而方程(4.29)有形如 的解。 因而，可直接求欧拉方程(4.29)的形如 的解，以 代入(4.29)后约去 得到确定 k 的代数方程， 从而对应着方程(4.29)的m个解为： 可以证明(4.31)正是(4.30)的特征方程。因此方程 (4.31)的m重实根 对应着(4.30)的m个解： 从而对应于方程(4.29)的2m个实值解为： 若方程(4.31)的m重复根 ，则对应于方程 (4.30)的2m个解： 故方程的通解为: 解得 例9 求解方程 解：设 代入方程，得到确定 k 的方程 对应的基本解组为： 解此代数方程得： 故方程的通解为: 例10 求解方程 解：设 ，代入方程得到确定k的代数方程 对应的基本解组为： 三、常系数非齐线性方程的解法（比较系数法） 1、类型Ⅰ 注意到，一个多项式的各阶导数仍为多项式，且 方程 的右端是一个m次多项式，因此方程 有形如下面两种情况的特解： (1)当0不是 对应齐次方程特征根时，从而有 ，此时有特解： 其中 为待定常数。把 代入 中，比较两端同次幂的系数得 满足的方 程为 从方程(4.34)中逐个解出 ，从而 写出 的表达式。 解：对应齐次方程特征根为 故该方程的特解形式为 比较系数得 解得 因此原方程的通解为 齐次的通解+非齐次特解 例11 求方程 的通解。 将 代入方程得 从而特解为 (2) 当0是方程 相应齐次方程的k重特征根时， 代入 求其中待定常数 的特解形如： 从而特解为 例12 求方程 的通解. 解：原方程对应的齐次方程的特征根是 从而原方程有特解形如： 代入方程确定A,B： 因此原方程的通解为： 2、类型Ⅱ: 这时方程(4.32)就是 其中 为实常数， 可得 有如下形式的特解： 解：对应齐次方程特征根为 从而 于是 因此原方程的通解为 例13 求方程 的通解。 是特征方程的单根，故该方程的特解 形式为 将 代入方程得