第06单元第4节 数系的扩充与复数的引入.ppt

* 第六单元 平面向量与复数 知识体系 2011届高考迎考复习更多资源请点击： 高中教学网 第四节 数系的扩充与复数的引入 基础梳理 1. 复数的概念及分类 (1)概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别为它的 和 。 ①实数:若a+bi为实数,则 。 (2)分类 ②虚数:若a+bi为虚数,则 。 ③纯虚数:若a+bi为纯虚数,则 . (3)相等复数:a+bi=c+di a=c,b=d(a,b,c,d∈R). 实部 虚部 b=0 b≠0 a=0,b=0 2. 复数的加、减、乘、除运算法则 设 则 (1)加法: =(a+bi)+(c+di)= ; (a+c)+(b+d)i (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ; (4)乘方:zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=zn1·zn2; (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(bc+ad)i (5)除法 = . 3. 复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. 叫做实轴, 叫做虚轴.实轴上的点都表示 ;除原点外,虚轴上的点都表示 . 复数集C和复平面内 组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以 为起点的向量组成的集合也是一一对应的 x轴 y轴 实数 纯虚数 有序实数对(a,b) 原点 4. 共轭复数 把 相等, 的两个复数叫做互为共 轭复数,复数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数记作 . 实部 虚部互为相反数 4. 共轭复数 把实部 相等, 虚部互为相反数 的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数记作 ,即 = a-bi ( a,b∈R). 5. 复数的模 向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作 |z| 或 |a+bi| ,即 6. 复平面内两点间距离公式 两个复数的 差的模 就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,d为点Z1和Z2的距离,则d=|Z2Z1|. 典例分析 题型一 复数的概念 【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限? 分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值. 解 z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)·(m-3)i. (1)当m=-2或m=3时,z为实数; (2)当m≠-2且m≠3时,z为虚数; (3)当m=0时,z为纯虚数; (4)当m=3时,z=0; ∴当m∈(0,3)时,z对应的点在第三象限. 学后反思 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现. 举一反三 1.已知复数 ，试添加a,b的条件，使之满足下列要求。 (1)使复数z为纯叙述的充要条件； (2)使复数z为纯虚数的一个充分必不要条件。 解析：（1）由已知得 ，所以 ∴ z为纯虚数的充要条件是a=±b,且ao. (2)由（1）得，条件a=bo和a=-b0都可以作为z为纯虚数的充分 不必要条件。 题型二 复数代数形式的运算 【例2】 计算： 分析: 熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算 和 等运算结果，能使运算更加便捷。 解 原式= 学后反思 在进行复数代数形式的运算时，要注意形式上的 特点，寻找更简便的方法。 举一反三 2. 求7+24i的平方根. 解析：设平方根为x+yi(x,y∈R),则 故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i. 题型三 复数集上的代数方程 【例3】(14分)已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根（b,c∈R）. (1)求b,c的值; (2)试证明1-i也是方程的根. 分析 把方程的根代入方程，用复数相