第11讲离散型随机变量及其概率函数.ppt

设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1, x2 , … . 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率. 这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律. 从中任取3 个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2 取每个值的概率为 例1 且 一、离散型随机变量概率分布的定义 一般地，我们给出如下定义: 其中 (k=1,2, …) 满足： k=1,2, … （1） （2） 定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 k=1,2,… … 为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布. 用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数 解: 依据概率函数的性质: P(X =k)≥0, a≥0 从中解得 欲使上述函数为概率函数 应有 这里用到了常见的 幂级数展开式 例2. 设随机变量X的概率函数为： k =0,1,2, …, 试确定常数a . 定义2. 设随机变量X的概率函数为： k =0,1,2, …, 则称X服从参数为 的泊松分布，记 定义3. 若随机变量X的可能取值为 且它的概率函数为 则称X服从参数为 n, p 的二项分布，记作 二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如教材例4中，要计算 我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的正态近似. 或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法. 泊松定理 设随机变量 是与 n有关的数). 又设 是常数，则有 证明见教材 定理的条件意味着当 n很大时，pn 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式： 其中 n 100, np 10 时近似效果就很好 实际计算中， 其中 当 n很大时，p不是很小，而是很大( 接近于1)时， 能否应用二项分布的泊松近似？ 当p不是很小，而是很大( 接近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似. 两点分布和超几何分布见书 二、表示方法 （1）列表法： （2）图示法 （3）公式法 X~ 再看例1 任取3 个球 X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2 0.1 0.3 0.6 k PK 0 1 2 三、举例 例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1 常常表示为： 这就是X的概率分布. 例4. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， P(X=1)=P(A1)=p, 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 设 于是 可见 这就是求所需射击发数X的概率函数. P(X=1)=P(A1)=p, Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 设 于是 若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布. 不难验证: 例5. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布. 解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3. P(X=0)=P(A1)=1/2, Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3 设 路口3 路口2 路口1 P(X=1)=P( ) = 1/4 P(X=2)=P( ) =1/8 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 路口3 路口2 路口1 路口3 路口2 路口1 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3 设 =1/8 P(X=3)= P( ) 路口3 路口2 路口1 即 不难看到 X表示该汽