第13讲 插值、拟合.ppt.ppt

插值问题的一般提法：已知y = f(x)（该函数未知） 在互异的n+1个点x0,x1,x2,…,xn处的函数值y0, y1,y2,…, yn,构造一个过n+1个点（xk,yk） k=0,1,2,…,n的次数 不超过n的多项式 y = Ln(x)，（称为插值多项式） 使其满足Ln(xk) = yk ，（称为插值条件） 然后用y = Ln(x)作为准确函数y = f(x)的近似值。此方 法称为插值法。 定理：满足插值条件的次数不超过n的多项式 是唯一存在的。 代数多项式具有形式简单、计算方便、存在各阶导数等良好性质，是最常用的插值函数 例题 分段插值法 图中看到，随着节点的增加，Lagrange插值函数次数越高，插值函数在两端容易产生龙格现象，为了改进高次插值的缺陷，就产生了分段插值。 分段插值基本思想：将被插函数逐段多项式化。 处理过程：将区间[a,b ]划分： 在每个子段 上构造低次多项式，然后将其拼接在一起作为整个区间[a,b ]上的插值函数，这样构造出的插值函数称为分段多项式，改进了多项式插值整体性太强的缺点，可以进行局部调整而不会影响整体。 1901年龙格(Runge) 给出一个例子： 取等矩节点 ，作拉格朗日插值多项式 。 当 时，函数 及插值多项式 的图形如下图 所示。 龙格现象 -1 1 x 0.5 1.0 1.5 y 0 -0.2 0.2 由图可见，在区间[-0.2，0.2]上 比较接近 ,但在区间[-1，1]两端则误差很大。当 n 继续增大时，部分区间上插值多项式误差偏大的现象更严重。这种现象称“龙格现象”。 龙格现象 To MATLAB　lch(larg1) 研究表明：分段低次插值多项式的误差小于高次多项式。 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0 x1x2…xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数?(x)满足条件 (1) ?(x)在区间[a , b]上连续; (2) ?(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是次数为m的多项式; 则称?(x)是f(x)在[a ,b]上的分段m次插值多项式。 m=1称为分段线性插值 m=2称为分段抛物线插值 分段插值法定义： 分段线性插值的构造： 由定义， ?(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是一次插值多项式; 分段线性插值的余项： 定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ，且| f″(x)| ≤m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计： |f(x)- ?(x) |=|R(x)| ≤m2h2/8， x∈[a, b]。 注意到h随分段增多而减少，因此用分段法提高精度是很好的途径. 证明：由Lagrange 余项公式，当x∈[xi, xi+1]时 |f(x)- ?(x) |=|R(x)| = |f″(?)(x-xi)(x- xi+1 )|/2! ≤m2max |(x-xi)(x- xi+1 )|/ 2≤m2h2/8， 上式右端与小区间的位置无关，证毕。 分段线性插值 ? ? ? ? ? ? xj xj-1 xj+1 x0 xn To MATLAB xch11，xch12，xch13， xch14． 返回 例 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11) 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14) 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13) 三次样条插值 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性．光滑性的阶次越高，则越光滑． 分段线性插值函数在结点的一阶导数一般不存在，光滑性不高，这就导致了样条插值的提出。 在机械制造、航海、航空工业中，经常要解决下列问题：已知一些数据点，如何通过这些数据