第1章 函数极限与连续 §1.5 极限存在准则与两个重要极限.ppt

几何解释： 注 例1.求 例3. 求 例5.求 例8.求 2. 两个重要极限 思考与练习 * 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 上一页 目录 下一页 退 出 第1章 函数极限与连续 1.5 极限存在准则与两个重要极限 §1.5　极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 §1.5　极限存在准则与两个重要极限 一、极限存在准则 内有定义，且满足条件： 设函数 的某去心邻域 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 （夹逼准则） 准则I 注 对于数列极限夹逼准则也成立. 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 证明 准则II (单调有界准则) 单调增加 单调减少 单调数列 上一页 目录 下一页 退 出 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 ( 证明略 ) 单调有界数列一定有极限. 定理1.5.2 （单调有界收敛准则） 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 注 对于单调有界函数也有类似的收敛准则. 若函数 在开区间 内是 单调有界函数，则 例如， 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 解 由夹逼准则得 例1.5.1 计算 二、两个重要极限 作单位圆（如图1-12）. 证 （1）由于 是偶函数， 故只需讨论 的情形即可. 图1-12 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 圆扇形AOB的面积 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 当 时 解: 例2.求 解: 令 则 因此 原式 解: 原式= 例4. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: 说明: 计算中注意利用 （2） 只证明当 取正整数的情形. 令 下面证明数列 单调增加且有上界. 由二项式定理, 得 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 比较 的对应项，得 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 因为 这些因子都小于1，所以 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 由单调有界准则知 收敛，通常用字母 表示它的 如果 取实数，也可以证明 令 则上式变为 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 极限，即 解:令 则 说明 ：若利用 则 原式 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 解 例6 计算 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 解 例6 计算 (2)方法一 (2)方法二 解 例7 计算 解 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 例6 计算 解 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 例7 计算 解: 原式 = * 1.5 极限存在准则与两个重要极限 高等数学 第1章 函数极限与连续 上一页 目录 下一页 退 出