第1章 基本运算.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * fzero(@(x)sin(x),[3,4]） Matlab自带的求根指令 X=fzero(函数句柄，猜测的初始值或搜寻的区间) fzero：求单变量函数的零点 使用zeroin算法（结合了二分法、弦割法以及其它方法的一种综合方法）。 fzero(@(x)sin(x),3） 1.6 分子振动的半经典量子化 原子的相互作用势为 Lennard-Jones 或6-12形式 势能最低处为rmin=21/6a，深度为V0 能量为En的相对运动的振动态可以用一维薛定谔方程的束缚态解Ψn(r)来描述 目标：对给定的势，求得能量En 标准办法：数值求解常微分方程本征值问题 我们这里采用的方法：半经典量子化 通过考虑原子核在势场中做经典运动，然后应用量子化规则，可以定出其振动能 En。 这就是所谓的Bohr-Sommerfeld-Wilson量子化法则。 半经典量子化 Bohr 根据对应原理的思想得出了一个角动量子化的条件，即电子运动的角动量 J 只能是 ? 的整数倍 Bohr的量子化法则 Somemerfeld 等为处理多自由度体系的周期运动的能量量子化，给出了推广的量子化条件 其中其中 qk, pk 代表一对共轭的正则坐标与动量， 代表对周期运动积分一个周期。 推广的量子化法则 在相空间轨迹为 势场 V 中，原子核间距的经典的运动，可以在能量 -V0E0上发生。原子核间距在 rin 和 rout 之间周期性的振动，对应相空间中的一条封闭轨道，轨道方程为 其中n为非负整数 量子化条件为 即 其中 为了对 Lennard-Jones势确定量子化条件，定义几个无量纲量 量子化条件变为 是标度化后的位势。 无量纲化 分子 H2 HD O2 γ 21.7 24.8 150 若知道分子的转动惯量（可以从分子转动的能量得知）和离解能（把分子分解为组成它的两个原子所需的能量），就能从实验观测测定参量 a 和 V0，从而定出γ 。 问题1 假设原子间相互作用势为谐振子势，利用半经典量子化条件，解析求系统能级。 其中 问题2 证明：L-J势下，小幅振动的频率之预期值为 问题3 对氢分子更适用的势函数为 调节参量β , 使得极小点上的二阶导数同观测到的H2第一振动态的激发能相拟合。 程序结构 面临的问题是求解下面的方程 其中 构造函数 εn = qiugen(vh(x)) 其中 xin = qiugen(εn –v(x)), xout = qiugen(εn –v(x)) 有 作业 1 .编写程序，得到能谱，并画出能级εn与 γ 的关系，并解释得到的结果。 2. 修改程序，改用谐振子势计算能谱，并与解析结果比较。 3. 修改程序，改用Morse势计算能谱，比较并解释与LJ能量值的差异。 * * * * * * * * * * * * * * * * * 两点公式 向前差分 向后差分 三点公式（中心差分公式） 进一步的改进——5点公式 虽然精度更大，但是计算量也更大！ 通常的计算三点公式已足够。 例子：不同微分方法的精度比较 不同方法计算 d sin x/dx |x=1 = 0.540302 的误差 不同公式的精度：五点三点两点 注意误差随步长 h 的减小先减小再增大 注意 舍入误差 微分公式涉及两个很接近的 f 值相减。当步长过小时，计算机的舍入误差会使导数计算不准确。 高阶导数 二阶导数 更高阶的阶导数以此类推 这也容易从二阶导数的定义直接得出 1.4 数值积分 牛顿-莱布尼兹公式 被积函数 f(x) 有解析表达式 f(x) 的原函数 F(x) 为初等函数 但是这要求 为什么要数值积分？ 1) f(x) 没有解析表达式 2) f(x)有解析表达式，但原函数不是初等函数 ，例如　　　　　　　　 我们面临的的问题 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f(x) 4 4.5 6 8 8.5 它们的原函数都不是初等函数 数值积分的出发点 积分转化为求和 将区间 [a,b] 分割为 n 等份，每个小区间的宽度为 h=(b-a)/n 在每个区间 [xi, xi+1] 进行线性插值 线性近似——梯形法则 二阶多项式近似——辛普生法则 在区间 [xi-1, xi+1] 上对 f(x) 进行二阶插值。 不同积分方法的结果比较 注意，此时误差随h减小而减小，舍入误差并不重要，这是因为积分公式中，所有 f 的值的符号都一样。 计算 的误差 选取更多的点，进行更高阶的插值可以得到更高阶的算法，如 Bode规则（四阶插值） 高阶的算法 simpson 3/8 算法（三阶插值） 过高阶的插值可能导致严重的振荡行为，从而给出被积函数不准确的插