第1章 函数与极限总结.docx

1课本基础知识 未解决的问题 第7页 本章总论： 1、求极限时一定要先看x趋近于多少，而不要先看式子！虽然式子长得大，但远没有自变量趋近几重要！！！ 2、这样做哪里错了？ 数列的极限的定义 数列收敛，那么就是存在一个极限。注意，数列n只能趋近正无穷大 数列朝∞走都收敛了，一定有界。收敛于a就是有极限是a的意思。 这个直说说不出，自己看，但是可以证明。 定理4是显然的。数列收敛于a，子数列也收敛于a。 函数趋近于某点的极限值： 函数趋近于无穷大的极限值： 包括了正负无穷大必须相同。 数列也是，如果收敛则极限唯一。 函数极限的局部有界性，这句话是这个意思：如果f(x)在x0点存在极限，那么总能在x0附近找到一个小的区域，这部分区域（即内）是有界的。即这部分区域一定有最大最小值。 若fx趋近于x0时极限是A，A0，那么在x0四周肯定还有f(x)0.。小于同理。诚挚为局部保号性。 在取得极限处的去心邻域内，，存在 去心邻域内函数值恒大于0，恒有极限值大于0。 函数上取点作为对应数列，则该数列极限值仍为函数的极限值。 f(x)存在极限A 充要条件是 f(x)=A+无穷小 互为倒数关系。 以上推论是显而易见的。 很重要的极限四则运算法则，要注意，拆分后必须极限存在才能运算。拆分后发现单独的某个极限不存在，那么是不能拆分的。 与定理3是一个意思。前提都是存在极限。一定要注意。不可乱用。 函数q处处小于函数p，那么q函数极限的值也要小于p函数极限的值 这个一定要注意，是x趋近于无穷大。那么问题来了，如果X趋近于0呢？ 注意：g(x)的值取不到u0的值，但是却趋近u0.此时值为f（x）趋近于u0的极限值A 数列（只能趋于∞时）的夹逼准则 函数的夹逼准则 两个重要极限 显然，单调和有界缺一不可才能收敛。但是一旦收敛一定存在极值，一定有界。 注意：定义的前提是β和α必须趋近于0.即无穷小。 注意：定义的前提是β和α必须趋近于0.即无穷小。 设a与b是等价无穷小，c与d是等价无穷小。 函数连续的定义 的实质的意思就是左极限=右极限=该点处定义的值。??个条件就是连续的定义。简言之，即是下面的叙述： 而是连续的数学表达式。十分有用。 用数学表达式也是一样的。 若f(x)，g(x)在x0点连续，那么他们的加减乘除的结果函数都在x0连续。 原函数在某区间单调连续，则反函数在对应原函数的值域的区间单调连续。 这个例子的解法可以很好说明定理3提出的要求。 重要例题 注意：本节几个定理前提条件都是 闭区间 连续 显然，开区间就不一定能取到最大最小值了。闭区间不连续也不一定能取到最大值和最小值，如 闭区间 且 连续（条件），两端点异号，定能取得一点0值。 闭区间 且 连续，则两个端点高度大小间的一切值都能取到。 总结一下本节的内容： 1、连续函数在闭区间定存在最大最小值 2、连续函数能取得闭区间端点的值之间的一切值。当然，若两个端点值乘积小于零，则定能取到零值。 3、推论：连续函数在闭区间上能取得一切介于max和min的值。 典型例题 补充一下，就是只有自变量趋于无穷大，才能上下消幂，否则乱消是错的。 下题是复合函数求法的标准概括 求 解：；令 ；得到 ，原式= 形如： 一般都化成： 形式，类似的还有题： （课本当时未能做出来）：(75页9-5/6题。同济数学第六版上册第一章总复习题)  本章学到的小知识点。 1、放缩时候一般用到： 2、证明一个奇葩数列极限存在，可以用学到的知识：该函数单调且有界则一定（收敛，因为收敛，才）存在极限。 3、 4、 , .多用于证明max，min函数的某些性质。 5、  2扩展知识 用这个数列极限的定义可以证明数列是确实存在的。 定理一（极限的唯一性）如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。 定理二（收敛数列有界性）如果数列{xn}收敛，那么它一定有界。 （但有界未必收敛） 定理三（收敛数列保号性）如果，且a0(a0)那么存在正整数N，当nN时，都有xn0(0) 函数趋于X0点的极限定义中，与X0点是否存在无关。 把X→X0的极限中，给改一下就是x趋近于左右极限。 把X→∞中，|x|X给改一下就是x趋近于±∞。 定理一（函数极限的唯一性）如果存在，那么这个极限唯一 定理二（函数极限的局部有界性）如果=A，那么存在常数M0和0，使得当0|x-x0|时，有|f(x)|=M 定理三（函数极限的局部保号性）如果=A，且A0（或者A＜0），那么存在常数＞0，使得当0|x-x0|时，有f(x)＞0（或者f(x)＜0） 无穷大的定义： 设f(x)在x0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数M（无论它有多么大），总存正数，使得当0|x-x0|时对应的f(x)总能满足不等式|f(x)|M.则称f(x)为当x