Fourier级数一致收敛性的几个证明.doc

F o u r i e r 级 数 一 致 收 敛 性 的 几 个 证 明 3 杨香凤 (东华大学理学院,上海,201620) 摘要 基于 Fo urie r 级数的逐点收敛性已经有很全面的研究 ,如 Dini 判别法 、L ip schitz 判别法 、Dirichlet2J o r da n 判别法 等 ,而关于 Fo urie r 级数的一致收敛性在文献中很少提及 ,本文将讨论 Fo urie r 级数的一致收敛性的几个判别方法 。 关键词 : Fo urie r 级数 ,收敛性 ,一致收敛性 中图分类号 : O 174 . 21 假 定 f ( x ) 在 [ - π, π] 上 可 积 和 广 义 绝 对 可 积 , a ∞  M 判 别 法 [2] , 从 而 推 得 级 数 0 + ∑ ( a c o s k x + 则 f ( x ) 的 F o u r i e r 级 数 可 写 为 :  b si n k x ) 一 致 收 敛 。 2 k k=1 a ∞ k f ( x ) ～ 0 + ∑ ( a c o s k x + b si n k x )  2 k k k=1 现 证 明 | a | 0 2 ∞ + ∑ ( | a  | + | b k | ) 收 敛 : k 其 中 a k 1∫π = π f ( x ) c o s k x d x ( k = 0 , 1 , 2 , ) , -π 1∫π k=1 f ( x ) 在 [ - π, π] 上 光 滑 , 故 f ′( x ) 在 [ - π, π] 上 可 积 , 已 知 [ - π, π] 上 f ( x ) 的 F o u r i e r 系 数 为 a 、 k b k = π f ( x ) si n k x d x ( k = 1 , 2 , ) 。 b , 设 f ′( x ) 在 [ - π, π] 上 F o u r i e r 系 数 为 a′、b′, 则 -π 一 般 数 学 分 析 中 F o u r i e r 级 数 的 讨 论 , 往 往 只 针 对 其 收 敛 性 , 本 文 将 重 点 讨 论 F o u r i e r 级 数 一 致 k 有 1∫π k k 1 收 敛 性 。下 文 中 定 理 1 条 件 较 强 , 定 理 2 、定 理 3 为 a′= 0 π f ′( x ) d x = -π π [ f (π) - f ( - π) ] = 0 更 一 般 条 件 下 的 一 致 收 敛 性 判 断 , 本 文 重 点 阐 述 这 两 个 定 理 , 并 给 予 充 分 的 证 明 。 (Θf ( - π) = f (π) ) ; π 定 义 1 : 若 f ( x ) 的 导 函 数 f ′( x ) 在 [ - π, π] 上 a′= 1∫ f ′( x ) c o s k x d x =  连 续 , 则 称 f ( x ) 在 [ - π, π] 上 光 滑 [1]。 定 理 1 : 设 f ( x ) 为 [ - π, π] 上 的 光 滑 函 数 , k π -π k∫ 1 π π π f ( x ) c o s k x + f ( x ) si n k x d x = f ( - π) = f (π) , 则 f ( x ) 的 F o u r i e r 级 数 [ - π, π] 上 一 致 收 敛 于 f ( x ) 。 π k b ; k -π -π 证 明 : 由 f ( x ) 在 [ - π, π] 上 光 滑 , 则 f ( x ) 的 F o u r i e r 级 数 存 在 , 记 为 b′= 1∫π f ′( x ) si n k x d x = k π -π  a ∞  k∫ 1 π π f ( x ) si n k x - f ( x ) c o s k x d x = f ( x ) ～ 0 + ∑ ( a c o s k x + b si n k x ) π π 2 k k k=1  - k a ; k -π -π 其 中 a k 1∫π = π