Maple在有限差分法解二维电势边值问题的应用探讨.doc

 第 17 卷第 3 期 1 9 9 8 年 3 月 大 学 物 理 COLL E GE P H YSICS Vol . 17 No . 3 Mar . 1998 Ξ Ma ple 在有限差分法解二维电势边值问题的应用探讨 郭冰莹 (广州师范学院物理系 ,广州 510400) ② 摘 要 用 Maple 计算机代数系统求解典型的二维电势边值问题 ,并探讨了借助 Maple 实行大学物理教材教 学改革的诱人前景 . 关键词 分类号 Maple ; CA I ;二维电势边值问题 ;有限差分法 O 441 . 1 值问题进行求解 ,并把结果绘制成电势分布的三维图 象 . 特别是把程序编制成收敛因子的函数 ,动态求得收 敛因子的最优值 . 1 引言 二维电势的边值问题是静态场的基本课题 , 是场 模型实验模拟法的理论依据 . 由于要求拉普拉斯方程 在给定的边界条件下的解 ,而电势边值问题的解析法 求解 ,只有对一些特殊对称的边界才是可行的. 在许多 实际问题中 ,往往由于边界条件过于复杂而无法求得 解析解 ,这时一般要借助数值法求得电势的数值解 . 随 着计算机应用技术的发展 ,数值法求解已经成为行之 有效的方法 ,原则上 ,解答可以达到任意需要的精度. 有限差分法是一种比较容易应用的数值解法 . 本文介 绍有限差分法求解二维电势边值问题中 Maple 计算机 代数系统的应用 . Maple 计算机代数系统是科学计算领域当今流行 颇广的工具软件 ,它在符号处理 、数值计算与图象绘制 诸方面功能较全面 ,具有丰富的库函数和灵活的编程 语言 ,所以在科学研究和教学实践中越来越为广大的 科学工作者所采用 . 代表世界领先水平的美国伦塞勒 工业大学 ( Rensselaer Polytechnic Instit ute) 的物理教学 改革项目 St udio Physics (意为“电子教室物理”) 1 所开 创的 CA I 课件编写系统 CU PL E ( Co mp rehensive U nified Physics L earning Eviro nment , 综 合 一 体 化 物 理 学 习 环 境) 2 ,其中指定的第一个教学工具就是 Maple. 与直接 使用高级语言编程计算比较 ,使用 Maple 能省时省力 , 改善效果 . 本文用 Maple 对拉普拉斯方程各类典型边 2 拉普拉斯方程二维边值问题的有限差分法 有限差分法首先要将求解的区域划分为网格 , 把 电势的连续分布化为网格节点上的离散数值解 . 为了 达到一定的精度 ,网格要划分得足够细 . 采用正方形网 格的划分法 ,如图 1 所示. 我们借助 Maple 二维泰勒级 数展开函数 mtaylor 进行分析 ,容易得到电势满足的差 图 1 分方程 ,并采用矩阵元的标记 1 Φij = (Φi - 1 , j + Φi , j - 1 + Φi + 1 , j + Φi , j + 1 ) ( 1) 4 因此 , 只要任意设定各点电势的初值 , 则可以用迭代法 不断更新各点电势的值 , 直到满足所要求的精度为止 . 注意计算机对变量赋值的自动更新的功能 , 在每次的 迭代计算中 , 左边和下边两点的值都是取刚刚求得的 Ξ 广东省面向 21 世纪“九五”规划 1352 工程教材编著项目 “: Maple 支持下的电动力学” ②收稿日期 :1997 - 02 - 13 ;修回日期 :1997 - 10 - 07 值 ,使收敛速度加快 , 这称为松弛法 . 为了进一步加快 收敛速度 , 把各点电势写成增量的形式并引入收敛因 子 α, 则 例 5 是导电纸模拟实验中制备的二维恒定电流场 Φi , j = Φi , j + 1 α(Φi - 1 , j + Φi , j - 1 + Φi + 1 , j + 4 Φi , j + 1 - 4Φi , j ) (α= 1 2) ( 2) 即我们给予每点电势的增量 , 超过使方程达到局部平 衡的增量 , 从 而 加 快 收 敛 速 度. 收 敛 因 子 有 一 个 最 优 值 , 使得收敛最快 , 但是收敛因子的确定是一个复杂的 问题. 3 一些特例 图 3 模型 ( 如图 5 所示) , A B 边上是第一类边界条件 , A C 、 1) 第一类边界条件 , 给出边界上电势的值 φ| S = f B D 边上满足的是齐次第二类边界条件 , B C 是两种导 电媒体的分界面 . 这里二维电势的边值问题是 ( 3) 例 1 、例 2 、例 3 的开 口 导 电 盒 ( 如 图 2 ( a) 、( b) 、(