第2章 拉格朗日插值.ppt

第二章 插值法 /* Interpolation */ 第一讲 §1.引言 §2.拉格朗日插值 许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函 数是通过实验或观测得到的： §1 引言 虽然 在某个区间[a,b]上是存在的，有的还是 连续的，但却只能给出[a,b]上一系列点 有的函数虽然有解析表达式,但由于计算复杂,使用不 方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、对数表、平方根表、立方根表等等。 由此构造一个简单易算的近似函数 P(x) ? f(x)，满足条件： P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 这里的 P(x) 称为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是 …? 多项式 x0 x1 x2 x3 x4 x P(x) ? f(x) 设已知f(x)满足 §1 引言 根据给定的函数表，做一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数近似f(x)。 有关概念 插值函数 插值节点 插值区间 若存在一个简单的函数P(x)，使得 P(xi)=yi (i=0,1,2,…,n) 成立，就称P(x)为f(x)的插值函数 点x0, x1, x2,…,xn称为插值节点。 [a,b]称为插值区间 插值法 求插值函数P(x)的方法称为插值法。 多项式插值 分段插值 三角插值 §1 引言 2.1 拉格朗日插值 §2.拉格朗日插值 2.2 插值余项及误差估计 n i y x L i i n , ... , 0 , ) ( = = 求 n 次多项式 使得 条件：无重合节点，即 n = 1 已知 xk-1 , xk ; yk-1 , yk ，求 使得 k k 1 K-1 K- 1 ) ( , ) ( y x L y x L = = 可见 L1(x) 是过 ( xk-1 , yk-1 ) 和 ( xk, yk ) 两点的直线。 ) ( ) ( K-1 K-1 k K-1 k K-1 1 x x x x y y y x L - - - + = k K-1 k x x x x - - K-1 k K-1 x x x x - - = yk-1+ yk lk-1(x) lk(x) ? = = k K-1 ) ( i i i y x l 称为拉氏基函数 /* Lagrange Basis */， 满足条件 li(xj)=?ij /* Kronecker Delta */ 2.1 拉格朗日插值 n ? 1 希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=?ij ；然后令 ? = = n i i i n y x l x L 0 ) ( ) ( ，则显然有Ln(xi) = yi 。 li(x) 每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn ? = - = - - - = n j j ? i j i n i i i x x C x x x x x x C x l 0 0 ) ( ) )...( )...( ( ) ( ? - = = j ? i j i i i i x x C x l ) ( 1 1 ) ( 与 有关，而与 无关, 称为n次插值基函数。 节点 f 2.1 拉格朗日插值 Lagrange Polynomial 若引入记号 ，则 有： 定理 (唯一性) 满足 的 n 阶插值多项式是唯一存在的。 证明： ( 利用Vandermonde 行列式论证) 反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 则 Qn 的阶数 ? n 而 Qn 有 个不同的根 n + 1 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。 2.1 拉格朗日插值 ? 插值余项 /* Remainder */ 设节点