第2章 计算方法插值与拟合.ppt

一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 2.3.2 Newton插值公式 计算差商可按下表进行： 记： 注意：由于满足插值条件的插值多项式是唯一的， 所以余项相同，从而， 性质3得证。 例题：用Newton插值公式求f (x)过三个点(0,1)，(-1,5)和(2,-1)的二次插值多项式N2(x)，并计算N2(1.5)。 解： 一阶差商 二阶差商 三阶差商 -1 0 2 5 1 -1 -4 -1 1 2.4 差分与等距节点插值公式 2.4.1 差分及其性质 设函数y=f (x)在节点 上的函数值 为已知。其中h为常数，称为步长。 定义 称函数 在 上的变化 为 在 上以h为步长的一阶向前差分。记作 同理， 为 在 上以h为步长的一阶向后差分。 利用一阶差分可以定义二阶及二阶以上的高阶差分。 差分的性质 （1）各阶差分均可用函数值来表示 其中， （2）差分与差商有如下关系 （3）向前差分与向后差分的关系 （2-23） （2-24） （2-25） （2-26） （4）差分与导数的关系 2.4.2 等距节点Newton插值公式 考虑Newton插值公式（2-21），由于节点 为等距节点，假设要计算x0附近某点的值，令 ，显然 ，则得： 将（2-24）和（2-28）代入Newton多项式，得到 （2-27） （2-28） （2-29） 称为Newton前插公式，插值余项为： （2-30） 反之，若要求 附近某点的值，先将Newton插值多项式按 次序改写为 令 ，显然 ，由（2-25）得 称为Newton后插公式，插值余项为： （2-32） （2-31） 例题：已知等距节点及相应点上的函数值如下： i 0 1 2 3 xi 0.4 0.6 0.8 1.0 yi 1.5 1.8 2.2 2.8 试求N3(0.5), N3(0.9)。 解：先构造向前差分表， i xi yi 0 0.4 1.5 0.3 0.1 0.1 1 0.6 1.8 0.4 0.2 2 0.8 2.2 0.6 3 1.0 2.8 由题意，x0＝0.4，h＝0.2；当x＝0.5时，t＝（0.5-0.4）/0.2＝0.5，因此代入牛顿前插公式（2-32）得： i xi yi 0 0.4 1.5 0.3 0.1 0.1 1 0.6 1.8 0.4 0.2 2 0.8 2.2 0.6 3 1.0 2.8 当x＝0.9时，t＝（1-0.9）/0.2＝0.5，因此代入牛顿后差公式，得： 2.5 分段低次插值 2.5.1 高次插值多项式的缺陷 插值多项式次数越高，利用被插函数节点信息越多，理应误差越 小。由公式（2-7）可见，截断误差与 有关，其 绝对值不一定随次数 增加而减小。龙格（Runge）就给出了一个 例子： 取等矩节点 ，作拉格朗日插值多项式 。当 时，函数 及插值多项式 的图形如2-1所示。由图可见，在区间[-0.2，0.2]上 比较接近 ,但在区间[-1，1]两端则误差很大。当 增大时，部分区间上插值多项式截断误差偏大的现象更重。这种现象称龙格现象。 -1 1 x 0.5 1.0 1.5 y 0 图2-1 龙格现象 随插值多项式次数的提高，计算误差的影响也会增大。设函数值 有误差变为 ，误差限为 。 则拉格朗日插值多项式 的计算值 也会有误差， 而且很可能接近误差限 。当 n 很大时 的误差就可能很大。这就是说，当 很大时，数据的误差可能对插值 多项式计算结果