第2章 连续时间系统的时域分析2.ppt

2.4.4 函数f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积 函数f(t)与单位冲激函数δ(t)的卷积，其结果仍然是函数f(t)本身 函数f(t)与单位阶跃函数u(t)的卷积 2.4.5 卷积的应用 利用卷积的方法，可以求解系统在任意激励下的零状态响应。根据线性时不变系统的叠加特性和时不变特性，把输入信号分解为一系列具有不同强度和不同延时的基本信号的组合，求系统在这些简单信号作用下的响应，然后进行响应的合成，即可得出待求的响应。 例 已知系统的单位冲激响应为h(t)=sint·u(t) 。激励如图所示，试求系统的零状态响应czs(t)。 因 解 r(t) 2π 2π 4π o t 1 -1 2π 4π t h(t) o 求 r(t) 的二阶导数，有 其相应的波形如下图所示： 1 -1 2π 4π t O 2π 4π (1) (1) (-2) t O 对h(t)二重积分，得 则 2.5 卷积积分的图解法 （1）f(t)→f(τ)，函数图形不变，仅将t→τ （2）h(t)→h(t-τ)，它包括两步运算：①反褶，将h(τ)绕纵坐标反褶得h(-τ)；②时移，将h(-τ)沿τ轴移动时间t得到h(t-τ)，且t 0时左移，t 0时右移； （3）将时移后的h(t-τ)与f(τ)相乘得f(τ)h(t-τ)； （4）求f(τ)h(t-τ)非零值区的积分。 例 f(t) E 0 1 2 t h(t) t 0 1 e-2t f(t)、h(t)如图所示，求y(t)= f(t)*h(t) t从-∞向+∞改变时，h(t-τ)自左向右平移，对应不同的t值范围，f(τ)与h(t-τ)相乘、积分的结果如下，相应的波形如图所示： 解 0 1 2 f(τ) E 0 1 2 τ h (-τ) τ 0 1 t=0 h (t-τ) τ 0 1 0t1 t h (t-τ) τ 1 1t2 t h (t-τ) τ 1 t 2 t 0 1 2 0 1 2 y (t) t E/2 (1) t0 (2) 0t1 (3) 1 t 2 (4) t 2 通过上例分析，可得如下结论: ！ （1）积分上、下限是两信号重叠部分的边界，下限为两信号左边界的最大者，上限为两信号右边界的最小者。 （2）卷积的时限等于两信号时限之和。 2.6 LTI系统的算子符号表示与传输算子 2.6.1 利用算子符号表示微分方程 为了形式上简洁，可以将微、积分方程中的微、积分运算用算子符号p与1/p表示，由此得到的方程称为算子方程。 微分算子符号 积分算子符号 1．可以进行因式分解或因式相乘展开，但不能进行公因子相消: 2．算子的乘除顺序不可随意颠倒 算子的运算规则: 2.6.2 利用算子符号建立微分方程 用算子符号建立系统数学模型比较方便，这种方法简称“算子法”。在列写电路的微分方程时，先将电路中的动态元件用算子符号表示，得到算子电路，再利用广义的电路定律，建立系统的算子方程，最后将算子方程转换为微分方程。 对电感，有 对电容，有 例 试用算子法列写电路的微分方程 e(t) + - R Lp 1/Cp i(t) 列出算子方程式为 代入元件参数，得 解 得到算子方程为 将算子方程转换为所求的微分方程： 2.6.3 传输算子 通过微分方程形式联系输入激励对输出响应的影响 定义 传输算子： 则输出可表示为 由上例得到算子方程为 例 已知iL(0-)=1A，VC(0-)=10V，求电路的零输入电流izi(t)。 e(t) + - R Lp 1/Cp i(t) 解 特征方程 传输算子为 特征根 零输入响应 因 将VC(0+)=VC(0-)代入上式，有 t=0+时刻的电路方程为 根据等效电路，解得标准初始条件为 故所求零输入响应为 将上面所求参数代入零输入响应式中，有 A f(t) t T 0 T + 1/p f(t-τ) y(t) + f(t) - 延时器 例 已知LTI系统的激励f(t)=A[u(t)-u(t-T)]，如图所示,求yzs(t)。 由图可知，冲激响应为 解 h(t)波形如图所示： 由此可得： yzs(t)波形如图所示： 1 h(t) t T 0 AT 0 T 2T t yzs(t) 2.7 利用MATLAB进行系统的时域分析 2.7.1 利用MATLAB求解微分方程 利用MATLAB求解系统的微分方程有两种方法，一是将微分方程离散化，采用数值解法，二是利