专题二：整式、因式分解、分式、二次根式、幂运算.doc

专题二：整式、因式分解、分式、二次根式、幂运算 因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x －2x －x(2003淮安市中考题) x －2x －x＝x(x －2x－1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a ＋4ab＋4b (2003南通市中考题) 解：a ＋4ab＋4b ＝（a＋2b） 3、 分组分解法 要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m＋n)＋b(m＋n),又可以提出公因式m＋n，从而得到(a＋b)(m＋n) 例3、分解因式m ＋5n－mn－5m 解：m ＋5n－mn－5m＝ m －5m －mn＋5n ＝ (m －5m )＋(－mn＋5n) ＝m(m－5)－n(m－5) ＝(m－5)(m－n) 4、 十字相乘法 对于mx ＋px＋q形式的多项式，如果a×b＝m,c×d＝q且ac＋bd＝p，则多项式可因式分解为(ax＋d)(bx＋c) 例4、分解因式7x －19x－6 分析： 1 －3 7 2 2－21＝－19 解：7x －19x－6＝（7x＋2）(x－3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x ＋3x－40 解x ＋3x－40＝x ＋3x＋( ) －( ) －40 ＝(x＋ ) －( ) ＝(x＋ ＋ )(x＋ － ) ＝(x＋8)(x－5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b＋c)＋ca(c－a)－ab(a＋b) 解：bc(b＋c)＋ca(c－a)－ab(a＋b)＝bc(c－a＋a＋b)＋ca(c－a)－ab(a＋b) ＝bc(c－a)＋ca(c－a)＋bc(a＋b)－ab(a＋b) ＝c(c－a)(b＋a)＋b(a＋b)(c－a) ＝(c＋b)(c－a)(a＋b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x －x －6x －x＋2 解：2x －x －6x －x＋2＝2(x ＋1)－x(x ＋1)－6x ＝x [2(x ＋ )－(x＋ )－6 令y＝x＋ , x [2(x ＋ )－(x＋ )－6 ＝ x [2(y －2)－y－6] ＝ x (2y －y－10) ＝x (y＋2)(2y－5) ＝x (x＋ ＋2)(2x＋ －5) ＝ (x ＋2x＋1) (2x －5x＋2) ＝(x＋1) (2x－1)(x－2) 8、 求根法 令多项式f(x)＝0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)＝(x－x )(x－x )(x－x )……(x－x ) 例8、分解因式2x ＋7x －2x －13x＋6 解：令f(x)＝2x ＋7x －2x －13x＋6＝0 通过综合除法可知，f(x)＝0根为 ，－3，－2，1 则2x ＋7x －2x －13x＋6＝(2x－1)(x＋3)(x＋2)(x－1) 9、 图象法 令y＝f(x)，做出函数y＝f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)＝ f(x)＝(x－x )(x－x )(x－x )……(x－x ) 例9、因式分解x ＋2x －5x－6 解：令y＝ x ＋2x －5x－6 作出其图象，见右图，与x轴交点为－3，－1，2 则x ＋2x －5x－6＝(x＋1)(x＋3)(x－2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b－c)＋b (c－a)＋c (a－b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b－c)＋b (c－a)＋c (a－b)＝a (b－c)－a(b －c )＋(b c－c b) ＝(b－c) [a －a(b＋c)＋bc] ＝(b－c)(a－b)(a－c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分