第4~5节 函数的单调性、极值、最值与曲线的凹凸性.ppt

第三章 第四节 * 四、凹凸的 定义 定义: 若曲线段向上（下）弯曲，则称之为凹（凸）的。 图形上任意弧段（ ） 位于所张弦的上方。 图形上任意弧段（ ）位于所张弦的下方。 问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性? 的中点 的中点 第三章 第四节 * 定义 四、二阶导数符号与凹凸性 1、凹凸的判定 定理1 凹 凸 第三章 第四节 * 证明: 在(1)的情况,设x1和x2是[a,b]内任意两点,且x1x2, 记(x1+x2)/2=x0,并记 x2-x0=x0-x1=h, 则x1=x0-h, x2=x0+h 由拉格朗日中值公式,得到 第三章 第四节 * 所以是凹的 2) 拐点可能出现的位置 拐点是函数的局部性质。 2 拐点的定义及其判定 1) 拐点的定义 定理4（拐点的第一充分条件） *定理5（拐点的第二充分条件） 3) 拐点的判定 第三章 第四节 * 例1 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 第三章 第四节 * 例3 解 第三章 第四节 * 例3 解 拐点只能是 f?? 的零点或 f?? 不存在的点。 第三章 第四节 * 3、凹凸与拐点的判定步骤 第三章 第四节 * 例4 解 拐点 非拐点 第三章 第四节 * 注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。 例5 解 第三章 第四节 * 六、小结 函数的单调性的可以由导数的符号确定； 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式; 曲线的弯曲方向——凹凸性; 改变弯曲方向的点——拐点; 凹凸性及拐点可以由二阶导数的符号确定; 利用函数的凹凸性可以证明不等式. 作业：P151 3T(2)（3） 5T（1）(2) 10T(1)（4） P161 1T（1）（3） 7T 第三章 第四节 * 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性第五节 函数的极值与最大值最小值 教学内容 1 函数的单调性的判别方法 2 曲线凹凸的判定 3 曲线的拐点及其求法 本节考研要求 1 掌握用导数判断函数单调性的方法， 2 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点。 第三章 第四节 * 一、函数单调性的判定法 在图象中我们发现上升函数的导数大于0,而下降函数的导数小于0,可见,函数的单调性与函数导数的符号有关.问题是能否用导数的符号来判定函数的单调性？ x y Y=f(x) a b x Y=f(x) a b y 第三章 第四节 * 定理1 注意: 1 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 2 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 第三章 第四节 * 证 应用拉氏定理,得 第三章 第四节 * 例1 解 单调区间为 二 函数单调性法则的应用 1 讨论函数的单调性 第三章 第四节 * 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 第三章 第四节 * 在 f 的定义域上求 f? 的零点及 f? 不存在的点； 2. 用 f? 的零点及 f? 不存在的点将 f 的定义区间划分为子区间； 3. 根据 f? 在各子区间内的符号及 f 在各子区间端点处的连续性确定 f 的单调性。 4. 二、三两步可借助于表格方式完成。 找单调区间的具体步骤如下： 第三章 第四节 * 例2 解 第三章 第四节 * 2 证明不等式 依据 利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。 例1 证 第三章 第四节 * 构造辅助函数： 使不等式的一端为0，另一端即位要作的辅助函数； 判断单调性： 求出区间端点的函数值或极限值，比较后即证， 或直接用不等式判断。 利用函数的单调性证明不等式的方法步骤： 3 讨论方程的根 x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 注意：极值是函数的局部性质。 二、函数极值的定义 第三章 第五节 * x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 例1 指出如图所示函数的极值情况： y=f(x) x y O x11 x0 x12 二 函数极值的求法 2.1函数极值点的寻找 在图中我们可看到极值处导数可能存在，可能不存在。如果导数存在，则此时的导数是水平的,即 定理1(必要条件) 定义