全等三角形证明提高题.doc

全等三角形提高题精选 全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。 与线段相等有关的竞赛题 例１（成都市初二数学竞赛题）如图１，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证：AC＝AB。 简证：连AP。 因为∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA， 所以△PDA≌△PEA（HL）。 所以AD＝AE。 因为∠１＝90°－∠CAB＝∠２， 所以△ACE≌△ABD（AAS）。 所以AC＝AB。 　　　　　　　　　　　　　图１　　　　　　　　　　　　　图２ 例２（天津市初二数学竞赛题）如图２，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E。求证：BE＝AD。 简证：延长BE、AC交于点F。 因为∠１＝∠２，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°， 所以△AEB≌△AEF（ASA）。 所以BE＝FE＝BF。 因为∠３＝90°－∠F＝∠２，BC＝AC, 所以△BCF≌△ACD（ASA）。 所以BF＝AD，BE＝AD。 与角相等有关的竞赛题 例３（赣州市初三数学竞赛题）如图３，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD是中线，CE⊥BD于点E，交AB于点F。求证：∠ADF＝∠CDE。 简证：过点A作AG⊥AC交CF的延长线于点G。 因为∠１＝90°－∠３＝∠２，AC＝BC， 所以△CAG≌△BCD（ASA）。 所以AG＝CD＝AD，∠G＝∠CDE。 因为∠４＝45°＝∠５，AF＝AF, 所以△ADF≌△AGF（SAS）。 所以∠ADF＝∠G＝∠CDE。 图３　　　　　　　　　　　　　　　图４ 例４（上海市初中数学竞赛题）如图４，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，AE＝（AD＋AB）。求证：∠ADC＋∠ABC＝180°。 简证：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F。 因为∠２＝∠３，AC＝AC， 所以△ACF≌△ACE（AAS）。 所以CF＝CE，AF＝AE。 因为AD＋AB＝２AE，AB＝AE＋EB， 所以EB＝AE－AD。 因为FD＝AF－AD， 所以EB＝FD。 所以△CEB≌△CFD（SAS）。 所以∠ABC＝∠5。 所以∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠５＝180°。 全等三角形【例题讲解】例题1．（第17届江苏省竞赛题）如图17 -1所示，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是 ( ) A. AB-ADCB-CD B.AB -AD=CB - CD C．AB -AD＜CB –CD D．AB -AD与CB - CD的大小关系不确定 例题3．如图17 -3所示，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，求证：AB＋BD＝CD． 例题4.．如图17 -6所示，已知△ABC中，AD、BE既是△ABC的角平分线，又是△ABC的高，试判断△ABC的形状． 例题5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G.．求证：CF＝GB. 例题7．如图所示，△ABC的∠A的平分线为AD，M为BC的中点，AD∥ME． 求证：BE＝CF＝(AB+AC)． 【练习巩固】 【答案与提示】 【证明与计算】 10．如图17 － 28所示，△ABC中；AC＝BC，∠ACB＝90°,D是AC上一点，且AE⊥BD的延长线于E，又AE＝BD．求证：BD是∠ABC的平分线． 11．如图所示，已知AB＝CD＝AE＝BC+DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积．