关于电介质内部的极化电荷.doc

 辽宁大学学报 自然科学版 J OU R N A L O F L IA ON IN G U N IV E R S I T Y N a tu ra l S c iences E d it ion V o l. 24 N o. 2 1997 第 24 卷 第 2 期 1997 年 关于电介质内部的极化电荷 李 文 (沈阳大学师范学院 沈阳 110015) 摘 要 本文从电磁场理论出发, 导出各向同性线性电介质内、极化电荷与极化 率、极化率梯度、自由电荷、以及电场强度之间的普遍关系式, 进而总结出不出现极 化电荷的三种情况和出现极化电荷的四种情况. 这是文献〔1〕, 〔2〕, 〔3〕涉及到而未 统一解决的问题. 关键词 极化率; 极化率梯度; 电场强度. 不论是均匀电介质, 还是非均匀电介质, 当它们发生极化时, 其内部可能不出现极化 电荷〔1〕, 也可能出现极化电荷〔2〕, 〔3〕, 极化电荷出现与否, 是由介质的性质, 以及被极化 的具体情况所决定的. → 介质分布 Ε(x ) 是位置坐标的函数, 这种分布可以与电场没有相互作用. 但极化电荷 _ _ 分布并非如此. 对各向同性线性电介质, 极化强度矢量 P 和介质极化率 x e , 电场强度 E 的 关系为: _ _ P = Ε0 x eE (1) _ 又知, 电位移矢量和极化率, 电场 E 的关系为: D = ΕE = Ε0 ΕrE = Ε0 (x e + 其中 Ε0 为真空介电常数, Εr 为介质相对介电常数. _ _ _ _ 1) E (2) _ 根据电磁场论, 极化电荷体密度 Θp 等于极化强度矢量 P 的散度的负值, 自由电荷体 _ 密度 Θf 等于电位移矢量 D 的散度, 故有: _ P p = - D r P = - _ _ Ε0 A x e r E - _ Ε0 x e A r E (3) χ x e r E + _ 1) A r E = A r D Ε0 A Θf = Ε0 (x e + (4) 消去式 (3) , 式 (4) 中的A ·E 因子即得: Ε0 _ A x e r E x e Θp = - 1Θf - (5) x e + x e + 1 式 ( 5) 是电介质内部极化电荷体密度 Θp 普遍表达式. 该式表明, 极化电荷体密度 Θp 是真 _ 空介电常数 Ε0 , 介质极化率 x e , 极化率梯度A x e , 自由电荷体密度 Θf 以及电场强度 E 的函 数. 式 ( 5) 右边第一项, 是自由电荷 Θf 的存在引起的极化电荷,“- ”号表示极化电荷 Θp 的极性与自由电荷异号, 若介质内无自由电荷, 则该项贡献恒为零. 式 ( 5) 右边第二项, 是 _ _ 极化率梯度 A x e 和电场强度 E 相互作用而引起的极化电荷, 极化电荷的极性由A x e ·E _ 作用的结果而定, 形式上象与自由电荷 Θf 无关, 实际上 Θf 的存在, 必然对 E 有贡献, 间接 影响到 Θp. 该项可能出现正极化电荷, 也可能出现负极化电荷. 此项表明, 极化电荷的多 _ 少由极化率 x e、极化率梯度A x e、电场强度 E 及其两者夹角的余弦值等四个因素所决定. 对均匀电介质 Ε= Ε0 (x e + 1) 为常数, 则 x e 亦为常数, 即A x e = 0 则此项贡献为零. 在极化 的非均匀介质内, 此项极化电荷也有可能为零, 可能不为零两种情形. 当极化率梯度与电 _ _ 场强度的方向相互垂直时, 有A x e ⊥E , 此项为零. 当A x e 方向不与 E 方向垂直时, 此项对 _ 极化电荷的贡献不为零. 当A x e 方向与 E 方向的夹角为锐角时, 此项引起的极化电荷为负 极性, 夹角为钝角时, 极化电荷为正极性. 式 (5) 中的两项极化电荷可能单一出现, 亦可能并存, 这要看介质的性质和被极化的 程度而定. 请看下面典型例证. 例 1 一点电荷 q 置于无限大空间 ( r= ∞) , 在以 q 为顶点的立体角 d 8 锥体内、外分 别充满介电常数为 Ε1 , Ε2 的均匀介质, 如图 1 所示. 求证: 介质内 Θf = 0 的点处一定有 Θp = 0. 证明 a ) 锥体内、外充满均匀介质, Ε1 , Ε2 为常数, 则在分界面以外 _ x e ·E = 0, 则在 Θf = 各点 x e1 , x e2 均为常数, 即A x e = 点, 一定有 Θp = 0. 0, 满足A 0 的 b) 锥体的分界面上, 各点的极化率梯度