具体函数与抽象函数相结合是学好“函数”的有效手段.doc

第三讲 具体函数与抽象函数相结合是学好“函数”的有效手段 1. 以指数函数为背景 我们把学习过的函数，如指数函数 y=ax(a0，且 a≠ 1)，对数函数 y=logax(a0，且 a≠ 1， x0)，用抽象的函数符号和语言进行表述，并在此基础上对函数的图象、性质进行证明和研究，是掌握函数方法、函数思想极其有效的方法 . 1.以指数函数为背景 例 1 设函数 y=f(x)定义在实数集 R上，当 x0时， f(x)1，且对任意实数 m， n都有 f(m+n)=f(m)· f(n). (1)证明 f(x)在 R上，恒有 f(x)0. (2)证明 f(x)在 R上是增函数 . 证明 (1)f(x)在 R上，恒有 f(x)0. 设 n0， m=0，则 f(x)1， ∴ f(0+n)=f(0)· f(n)， 即 f(n)=f(0)· f(n). 又 f(n)1， ∵ f(0)=1，设 x0， 则 -x0，从而 f(-x)0. ∵ f(0)=f(x-x) 　　　=f(x)· f(-x) 　　　=1, ∴ f(x)= 1 f(-x)0. ∴ 不论 x为任意实数，都有 f(x)0. 证明 (2)f(x)在 R上是增函数 设 x1x2，可表示成 x2=x1+t(t0). 由 t0，有 f(t)1， ∴ f(x2)=f(x1+t) 　　　　=f(x1)· f(t)f(x1)； ∴ f(x)在 R上是增函数 . ? 例 2 (1)下列函数中，具有性质 f(x+y)=f(x)· f(y)(x， y∈ R)的是 ( ). A.f(x)=x2　　B. f(x)=2x C.f(x)=2x 　　D.f(x)=-x+1 (2)设函数 y=f(x)定义在实数集上，则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于 ( ). A.直线 y=0对称　　 B.直线 x=0对称 C.直线 y=1对称　　 D.直线 x=1对称 解 (1)：由 f(x+y)=f(x)· f(y)(x， y∈ R)知，取 f(x)=2x满足题设要求 . 而 f(x)=x2， f(x)=2x， f(x)=-x+1不符合要求 . ∴ 应选 B. 解 (2)：可选取 f(x)=2x(x∈ R)，符合题设要求 . ∵ y=f(x-1)=2 x-1， y=f(1-x)=21-x=( )x-1， 而曲线 y=2x-1是由曲线 y=2x向右平移 1个单位得到的，曲线 y=( ) x-1是由曲线 y=( ) x向右平移 1个单位得到的 . ∴ 它们应关于直线 x=1对称， ∴ 应选 D. ? 例 3 设函数 y=f(x)定义在 R上，且对任意实数 m， n恒有 f(m+n)=f(m)· f(n)，且当 x0时， 0f(x)1. (1)求证 f(0)=1，且当 x0时， f(x)1； (2)求证 f(x)在 R上递减； (3)设集合 A={(x， y)｜ f(x2)· f(y2)f(1)}， B={(x， y)｜ f(ax-y+2)=1， a∈ R}，若 A∩ B=Φ，求 a的取值范围 . 证明 (1)求证 f(0)=1，且当 x0时， f(x)1， 令 m=1， n=0， 得 f(1)=f(1)· f(0). ∵ 0f(1)1， ∴ f(0)=1. 设 x0，则 -x0，则 f(x-x)=f(x)· f(-x)， ∵ f(0)=1， ∴ f(x)· f(-x)=1,f(x)= . ∵ -x0， 0f(-x)1， ∴ f(x)= 1. (2)求证 f(x)在 R上递减 证明 1：设 x1x2，则 x2-x10， ∴ 0f(x2-x1)1. 令 m=x1， m+n=x2，则 n=x2-x1， ∴ f(x2)=f(x1)· f(x2-x1)： ∴ 0 1，即 f(x2)f(x1). ∴ f(x)在 R上递减 . 证明 2：设 x1x2，则 x2-x10， ∴ 0f(x2-x1)1； ∴ f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) 　　　　　=f(x2-x1)· f(x1)-f(x1) 　　　　　 =f(x1)[f(x2-x1)-1]. 而 f(x2-x1)-10， f(x1)O， ∴ f(x2)-f(x1)0， 即 f(x2)f(x1)， ∴ f(x)在 R上递减 . (3)设集合 A={(x， y)｜ f(x2)· f(y2)f(1)}， B={(x， y)｜ f(ax-y+2)=1， a∈ R}，若 A∩ B=Φ，求 a的取值范围 . 解：由 f(x2)· f(y2)f(1)，有 f(x2+y2)f(1). ∵ f(x)在 R上是减函数， ∴ x2+y21. 由 f(ax-y+2)=1，得 f(ax-y-2)=f(0)， ∴ ax-y+2=0. 解 消去 y,得 (a2+1)x2+4