初中数学《勾股定理证明方案》研究性学习设计.doc

勾股定理证明方案 研究性学习设计 作者姓名 任职单位 学科 数学 年级 八年级 单元标题 勾股定理 研究性学习名称 勾股定理证明方案 所需时间 2课时 【学习目标】 1、知识技能 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理证明方法，会用多种方法证明勾股定理。 2．过程方法 经历勾股定理的证明方案的探索过程 培养在小组合作中解决问题，总结规律的意识和能力。 3．情感态度价值观 介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习 【情境】 勾股定理是我国最早证明的几何定理之一，是中华数学的精髓。 几千年以来，有无数古今中外的学者对它进行了证明. 其中包括汉代的赵爽、魏晋时期的刘徽、美国总统伽菲尔德、著名画家达芬奇 常见的勾股定理的证明方法有哪几种呢？你想到的证明方法又有哪些呢？今天我们就一起来探究这个课题。 【任务】 1．在独立思考和小组合作过程中，探索勾股定理的证明方法。 2．积极参与合作学习，整理证明方案，记录在方案报告中． 3.分享证明方案，评选最佳方案。 【过程】 活动准备：小组集体学习下列参考步骤，并提出修改意见，确定本组研究性学习的具体步骤． 第一课时：案例探究 思维启迪 活动1．数学家毕达哥拉斯的证法 建议步骤： （1）出示案例 在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法。 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。 。 （2）个人思考：由以上两图和上面的信息你能探究出毕达哥拉斯的证明方法吗？独立思考五分钟。． （3）小组交流，达成共识：把你刚才独立思考得到的思路带到小组中去，达成共识，修改完善，把最佳的证明方案记录下来。 （4）全班交流，方案比拼。 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等, 即 ，整理得 活动2．赵爽弦图的证法 建议步骤： 出示案例 这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。 以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，把它们拼成下图边长为c的大正方形。 ? （2）个人思考：赵爽是怎样得出勾股定理的证明方案的，你想到了吗？ （3）小组交流，达成共识：小组交流，把你认为最佳的证明方案记录下来。 （4）方案展示： 大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；也可以表示为c2 + 4?ab/2. ∵ (a+b)2 = c2 + 4?ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ 活动3 美国第20任总统伽a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。 （2）个人思考：由上图和题目中的信息，你知道伽RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2 ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE ∴ ∠HGD = ∠EHA ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o 又∵ ∠GHE = 90o ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形， 它的面积等于 ∴ ∴ 方案二： ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o ∴ ΔDEC是一个等腰 直角三角形,它的面积等于 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o ∴ AD∥B ∴ ABCD是一个直角梯形， 它的面积等于 ∴ ∴ 方案三： 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c。 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过C作AC的延长线交DF于点P。 ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90° ∴ ∠BED + ∠GEF = 90° ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o 又∵ AB = BE = EG = GA = c ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o ∵ RtΔAB