初中数学人教新课标版九年级下解直角三角形教案.doc

解直角三角形 【课标要求】 1．掌握直角三角形的判定、性质． 2．能用面积法求直角三角形斜边上的高． 3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题． 4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系． 5．能根据已知条件求锐角三角函数值． 6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值． 7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题． 8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题． 【课时分布】 解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课时安排（仅供参考）． 课时数 内容 1 直角三角形边角关系、锐角三角函数、简单的解直角三角形 2 解直角三角形的应用 2 解直角三角形单元测试及评析 【知识回顾】 1．知识脉络 2．基础知识 直角三角形的特征 ⑴直角三角形两个锐角互余； ⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半； ⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2； ⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°； ⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB． 锐角三角函数的定义： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c, 则sinA=,cosA=,tanA=,cotA= 特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随的变化情况） sin cos tan cot 30° 45° 1 1 60° 解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°） ⑴三边之间的关系：a2+b2=c2． ⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA=,cosA=． tanA=,cotA=． ⑷解直角三角形中常见类型： ①已知一边一锐角． ②已知两边． ③解直角三角形的应用． 2．能力要求 例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的四个三角函数值． 【分析】求∠BCD的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是在Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案． 【解】 在Rt△ABC中，∵ ∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°， ∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A． 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝10， ∴sin∠BCD=sinA==,cos∠BCD=cosA==, tan∠BCD=tanA==,cot∠BCD=cotA==． 【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，即本题中角的转换．（或可利用射影定理，求出BD、DC，从而利用三角函数定义直接求出） 例2 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号） 【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的长． 【解】 过点A作AG⊥CD，垂足为点G， 在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6， ∴tan30°=，∴CG=6×=2 ∴CD=2+1.5,在Rt△CED中，sin60°=，∴EC===4+． 答：拉线CE的长为4+米． 【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键．老师在复习过程中应加以引导和总结． 例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？ 【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5． 【解】 ⑴∵i=tanB,即tanB==2，∴∠B=63.43°． ⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD， 垂足分别为E、F． 由题意可知：ME＝NF＝5，∴＝， ∴AE＝DF＝2.5， ∵AD=4，