第5讲 导数的概念.ppt

导数的概念 牛顿(1642 – 1727) 莱布尼兹(1646 – 1716) 一、 引例 2. 曲线切线的斜率 两个问题的共性: 二、导数的定义 例1. 求函数 说明： 例3. 求函数 例6. 证明函数 四、 单侧导数 定理1. 函数 三、 导数的几何意义 例９. 问曲线 五、 函数的可导性与连续性的关系 内容小结 练习 5. 设 在点 且 存在 简写为 若函数 与 都存在 , 则称 在开区间 内可导, 在闭区间 上可导. 可导的充分必要条件 是 且 曲线 在点 的切线斜率为 若 曲线过 上升; 若 曲线过 下降; 若 切线与 x 轴平行, 称为驻点; 若 切线与 x 轴垂直 . 曲线在点 处的 切线方程: 法线方程: 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程. 解: 令 得 对应 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 定理2. 证: 设 在点 x 处可导, 存在 , 因此必有 其中 故 所以函数 在点 x 连续 . 即 在点 处右 导数存在 定理3. 函数 在点 必 右 连续. (左) (左) 注意: 函数在点 x 连续未必可导. 在闭区间 [a , b] 上可导 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. 2. 增量比的极限; 切线的斜率; * * 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数的思想最早是由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出来的. 英国数学家 Newton 第二章 导数与微分 伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术, 并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 . 德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 . 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 导数的概念 第三章 1. 变速直线运动某时刻的瞬时速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 定义1 . 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作: 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率 说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 若 也称 在 就说函数 的导数为无穷大（或 具有无穷导数） . 关于导数的说明： 注意: 由定义求函数在某点的导数 步骤: 解: 例. 求函数　　　　　在　　　点处的导数． (C 为常数) 的导数. 解: 即 例2. 求函数　　　　　　　　　的导数． 解: 即 对一般幂函数 ( 为常数)