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第6章-梁弯位移2
例:图示空心圆截面外伸梁,已知D=80mm,d=40mm,E=200GPa,C点挠度不得大于AB跨长的10-4,B截面转角不得大于10-3rad,校核刚度。 解:首先可利用图a由叠加原理求wC和?B。 200 200 100 A D B C F 2 =1kN F 1 =2kN D d (a) A F 2 C F 1 B l F 1 × BD 图a可看成由图b和c的叠加而得,图b和c分别有: w C 1 q B 1 w C 2 q B 2 A B F 2 (b) A C B M (c) 叠加可得: 因为: 所以: 刚度满足。 则: 2)减少梁的跨度或增加支承。 2、提高刚度措施 除外加载荷外,梁的位移w、?还与梁的弯曲刚度EI成反比,与跨长l的n次方成正比,因此,提高刚度的措施有: 1)升高EI。 各种钢材E相差不大,主要提高I,在截面面积A不变时,尽可能使面积分布远离中性轴。 如工字形、箱形等截面。 如下图所示结构: 超静定梁: A B A C B §6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室 线性微分方程 梁内任一横截面的弯矩与载荷成线性齐次关系 各荷载同时作用下,梁任一截面的挠度或转角,等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表(表6-1,P115)可查;2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。 一、前提条件:弹性、小变形。 三、叠加法的特征: 叠加法计算梁的变形 P1 P2 小变性条件:计算P2的作用时, 忽略P1的作用对几何尺寸的影响 例:利用叠加原理求图a所示弯曲刚度为EI的简支 梁的跨中挠度wC和两端截面的转角?A,?B。 解:可将原荷载看成为图b所示关于跨中C截面的正 对称和反对称荷载的叠加。 q B A C x y l/2 l (a) (b) + A l/2 C B l/2 q/2 q/2 l A C B q/2 1)对正对称荷载,跨中截面C的挠度和两端的转角分别为: 2)对反对称荷载,跨中截面C的挠度等于零,并可分别将AC段和CB段看成为l/2简支梁,即有: 将相应的位移进行叠加,即得: (向下) (顺时针) (逆时针) 例:利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。 解:原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加,对应 的变形和相关量如图所示。 F l l l EI F A B C D q B 1 F q C 1 w C 1 w C 1 q C 1 ? 2 l 直线 w B 1 (a) q D 1 q B 2 w D 1 · F q D 1 BD 直线 w D 1 w B 2 (b) ? 对图a,可得C截面的挠度和转角为: 由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为: (向下) (顺时针) q B 1 F q C 1 w C 1 w C 1 q C 1 ? 2 l 直线 w B 1 (a) 对图b,可得D截面的挠度和转角为: 同理可得此时B截面的挠度和转角为: (向下) (顺时针) q D 1 q B 2 w D 1 · F q D 1 BD 直线 w D 1 w B 2 (b) ? 将相应的位移进行叠加,即得: (向下) (顺时针) 结构形式叠加(逐段刚化法) 原理说明 + 等价 等价 B C P L2 f1 x y = A x P L1 L2 B C y y P A B C 刚化AC段 P L1 L2 A B C 刚化BC段 P L1 L2 f2 A B C M x f 例:由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面 的挠度和转角以及D截面的挠度。 解:可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。 B C (b) F=qa A EI D B qa qa2/2 (a) A C a a a F=qa B D EI (1)对图a,其又可看成为图c和d所示荷载的组合。 + A F=qa (c) qa2/2 (d) 图c中D截面的挠度和B截面的转角为: 图d中D截面的挠度和B截面的转角为: 将相应的位移进行叠加,即得: (向下) (顺时针) (2)对图b,C截面的挠度和转角分别为: 所以: 原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得,即: (向下) (顺时针) A C a a a F=qa B D EI qB qCq qB × a wCq 例:利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度,其中:F
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