第7章非线性方程得数值解法li.ppt

第7章 非线性方程与方程组的数值解法 7.1 方程求根与二分法 7.1.2 二分法 7.2 不动点迭代法及其收敛性 7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 7.2.3 局部收敛性与收敛阶 7.4 牛顿法 7.4.2 简化牛顿法与牛顿下山法 （2） 牛顿下山法. 7.5 弦截法与抛物线法 7.5.1 弦截法 7.5.2 抛物线法 实际上，弦截法具有超线性的收敛性. 比较例7牛顿法的计算结果可以看出，弦截法的收敛速度也是相当快的. 定理6 假设 在根 的邻域 内 具有二阶连续导数，且对任意 有 ，又初值 那么当邻域Δ充分小时，弦截法（5.2）将按 阶收敛到根 . 这里 是方程 的正根. （5.2） 设已知方程 的三个近似根 ， 几何上，这种方法的基本思想 是用抛物线与 轴的交点 作为 所求根 的近似位置（图7-7). 图7-7 以这三点为节点构造二次插值多项式 ， 的一个零点 作为新的近似根， 并适当选取 这样确定的迭代过程称为抛 物线法，亦称密勒（Müller）法. 插值多项式 有两个零点： （5.3） 式中 问题是该如何确定 . 假定在 三个近似根中， 更接近所求的根 . 为了保证精度，选（5.3）中较接近 的一个值作为新的近似根 . 为此，只要取根式前的符号与 的符号相同. 例11 用抛物线法求解方程 解 设用表7-10的前三个值 作为开始值，计算得 （5.3） 故 代入（5.3）式求得 以上计算表明，抛物线法比弦截法收敛得更快. 在一定条件下可以证明，对于抛物线法，迭代误差有 下列渐近关系式 （5.3） 可见抛物线法也是超线性收敛的，其收敛的阶 , 从（5.3）看到，即使 均为实数， 也 可以是复数，所以抛物线法适用于求多项式的实根和复根. 收敛速度比弦截法更接近于牛顿法. （5.3） 7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点 7.6.1 求根问题的敏感性与病态代数方程 方程求根的敏感性与函数求值是相反的，若 ， 则由 求 的病态性与由 求 的病态性相反，光滑函数 在根 附近函数绝对误差与自变量误差之比 若 ，则求根为反问题，即输入 满足 若找到一个 使 ,则解的误差 与 之比为 ，即 误差将 达到 ，如果 非常小，这个值就非常大，直 观的可用图7-8表示. 图7-8 对多项式方程 若系数有微小扰动其根变化很大，这种根对系数变化的敏 感性成为病态的代数方程. 若多项式 的系数有微小变化，可表示为 其中 是一个多项式，次数不大于 的零点 表示为 ，令 为 的零点，即 ，将（6.2）对 求 导，可得 （6.1） （6.2） 取 ，对上述4种迭代法，计算三步所得的结果如下表. 从计算结果看到迭代法（1）及（2）均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条件. 注意 . 迭代法（3）和（4）均满足局部收敛条件，且迭代法（4）比（3）收敛快，因在迭代法（4）中 . 定义2 设迭代过程 收敛于方程 的根 ，如果迭代误差 当 时成立下列 渐近关系式 则称该迭代过程是 阶收敛的. 特别地, 时称线性收敛， 时称超线性收敛， 时称平方收敛. 定理4 对于迭代过程 ，如果 在所 求根 的邻近连续，并且 则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的. （2.8） 证明 由于 ，据定理3立即可以断定迭代