第8章 常微分方程—8-6(常系数非齐次,Euler).ppt

解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取虚部） 例6 代入上述方程，得 从而，原方程有一特解为 例7 解 代入上述方程，得 比较系数，得 例8 解 从而，原方程有一特解为 故 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程. 欧拉方程 的方程(其中 形如 叫欧拉方程. 为常数) 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同． 作变量变换 将自变量换为 则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程: 例9. 例10. 例9. 解: 则原方程化为 亦即 其根 则④对应的齐次方程的通解为 特征方程 ④ ④的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 设特解: 代入④确定系数, 得 ④ 例10. 解: 将方程化为 (欧拉方程) 则方程化为 即 特征根: 设特解: 代入方程 解得 A = 1, 所求通解为 思考题 设二阶常系数线性微分方程 的一个特解 为 ，试确定 ，并求该方程的通解.. 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 第8章 常微分方程 高等数学A 8.3 几种高阶微分方程的解法 8.3.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 8.3.5 Euler方程 8.3 几种高阶微分方程的解法 8.3.4 二阶常系数 非齐次线性微分方程 解的结构 模型 → 模型求解 → 习例1-3 第一解法 习例4-5 第二解法 习例6-8 8.3.5 Euler方程 基本形式 Euler方程的解法 习例9-10 思考题 二阶常系数非齐次线性微分方程与Euler方程 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ⑴ — 待定系数法 二阶常系数非齐次线性微分方程 模型 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当 p ≠ k 时, 齐次通解: 如何求方程的特解？ 8.3.2的模型3中, 若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 ① 非齐次方程 ⑴对应的齐次方程 的特征方程及特征根为 单根 二重根 一对共轭复根 你认为方程应该有什么样子的特解？ 假设方程 有下列形式的特解： 则 代入方程 (2) ，得 即 方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。 由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 特别地 例1 例2 例3 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得 例1 解 比较两边同类项的系数，得 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得 例2 解 上式即 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 对应的齐方程的通解为 综上所述，原方程的通解为 例3 解 2. 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 ③ 的特解 . ② ③ 设 则 ② 有特解: 第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . 第四步 分析 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , 小 结: 对非齐次方程 则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 模型 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当 p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 因此原方程①之解为 若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 代入①可得: ① 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时, 自由振动 强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式: 代入①可得: 方程① 的解为 ① 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 . 可无限增大, 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; p = k . 自由振动 强迫振动 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁