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第8节 常系数非齐次线性微分方程
例10. 设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 思考与练习 2 . (填空) 设 作业7-8 * 为常数 ) 通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 ★ 二阶常系数线性非齐次微分方程的标准形式 [解法] 回顾: 第六节非齐次线性微分方程解的结构(定理3) 借助于第七节内容解决 难点问题！！ ★ 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 的待定形式 , 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 为常数 ) 本节主要讨论以下两种类型的微分方程 从而得到特解形式为 此结论可推广到高阶常系数线性非齐次微分方程！ ★ 小结 解: 特征方程 于是所求特解为 解: 特征方程 特征根 设方程特解 代入方程比较系数得 解: 特征方程 设非齐次方程特解为 代入方程得 故对应齐次方程通解 原方程通解 由初始条件得 特征根 于是所求解为 原方程通解为 解得 解：设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根） 上述结论也可推广到高阶微分方程的情形 . ★ 结论 方程②的特解可设为 解: 特征方程 不是特征方程的根 代入方程得 设特解为 特征根 比较系数 , 得 于是求得一个特解 解: 特征方程 其根为 对应齐次方程的通解 比较系数 , 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 由于 为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为 解: (1) 特征方程 即 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 即 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 1. 求方程 的通解 . 提示: 对应齐次方程通解 1) 当 时, 设特解 2) 当 时, 设特解 答案: 原方程的通解为 1) 当 时可设特解为 2) 当 时可设特解为 * * *
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