第9章——常微分方程初值问题解法.ppt

* 结果及比较 * 关于Runge-Kutta方法 * 提高Runge-Kutta方法的精度的方法 提高精度最简单的方法是缩短步长，但要以牺牲计算速度和积累舍入误差为代价。 * 变步长的Runge-Kutta方法 作为妥协，如果能在计算过程中实时控制步长的大小，就可以在获得较高的计算速度的同时，保证较高的精度。 七阶、八阶RKF7(8) * 单步法 * 第9章 常微分方程初值问题数值解法 9.1 引 言 * 本章研究的问题: * 9.1 欧 拉 方 法及改进的欧拉法 9.1.1 欧拉公式 图7.1 欧拉折线法 * 1 欧拉公式 (2) (3) * * 2 欧拉公式的截断误差 (4) * 3 单步法的局部截断误差与阶 局部截断误差可以理解为计算一步的误差. * 则称该方法具有P阶精度. * 4 后退的欧拉方法 (5) * (6) (6)式称为后退的欧拉方法,它是隐式的,欧拉公式(2)是显式的, * (7) * * 后退的欧拉方法的局部截断误差: * 5 梯形方法 (8)式称为梯形方法. (8) * 梯形方法的局部截断误差: * 6. 改进欧拉法及局部截断误差 预测步 校正步 或者写成 （1）改进的欧拉公式: * （2）改进的欧拉方法的局部截断误差 * 考虑改进Euler法 如果将其改成 ----------(1) 9.2 Runge-Kutta法 * 改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成 梯形公式具有2阶精度 (1)式为一种二阶Runge-Kutta法 同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度。 * Runge-Kutta方法的推导 * Runge-Kutta方法的一般形式： 确定了阶数之后，再通过Taylor展开、比较两边系数的方法，确定各待定系数： * 二阶显式Runge-Kutta方法 * * * * 例 * 结果及比较 * 三阶显式Runge-Kutta方法 在推导二阶显式方法的过程中，注意到局部截断误差表达式中h3项包含了以下表达式： 因此若要在局部截断误差中消去h3项，必须增加包含了以上各项的多个方程，同时我们注意到r=2时，只有 等四个待定系数，少于方程的数目，所以这样的系数不存在。故： r=2时Runge-Kutta方法只能是二阶的。要得到三阶的方法，则必须有r=3。 * 三阶显式Runge-Kutta方法 * 四阶显式Runge-Kutta方法 * x 四阶 二阶 真解 四阶误差 二阶误差 0.0 1.000000 1.000000 1.000000 0.0000 0.000000 0.1 1.104829 1.102450 1.104829 1.60E-7 2.38E-3 0.2 1.218597 1.211507 1.218597 3.40E-7 7.09E-3 0.3 1.340141 1.325766 1.340141 5.48E-7 1.44E-2 0.4 1.468175 1.443671 1.468175 7.69E-7 2.45E-2 0.5 1.601278 1.563506 1.601279 9.95E-7 3.78E-2 0.6 1.737880 1.683374 1.737881 1.20E-6 5.45E-2 0.7 1.876246 1.801179 1.876247 1.42E-6 7.51E-2 0.8 2.014457 1.914603 2.014459 1.68E-6 9.99E-2 0.9 2.150395 2.021086 2.150397 1.96E-6 1.29E-1 1.0 2.281716 2.117800 2.281718 2.32E-6 1.64E-1 例