第一-五讲 走进追问求根公式.doc

第一讲 走进追问求根公式 形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美． 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法． 【例题求解】 【例1】满足的整数n有 个． 【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ） A． 一4 B．8 C．6 D．0 【例3】 解关于的方程． 设方程，求满足该方程的所有根之和． 【例5】 已知实数、、、互不相等，且， 试求的值． 学历训练 1．已知、是实数，且，那么关于的方程的根为 ． 2．已知，那么代数式的值是 ． 3．若，，则的值为 ． 4．若两个方程和只有一个公共根，则( ) A． B． C． D． 5．当分式有意义时，的取值范围是( ) A． B． C． D．且 6．方程的实根的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．解下列关于的方程： (1) ； (2) ； (3)． 8．已知，求代数式的值．[来源:Zxxk.Com][来源:学科网 9．是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由． 10．若，则＝ ． 11．已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为 ． 12．已知是方程的一个正根。则代数式的值为 ． 13．对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( ) A．1 n．2 C． D．2．5 14．自然数满足，这样的的个数是( ) A．2 B．1 C．3 D．4 15．已知、都是负实数，且，那么的值是( ) A． B． C． D． 16．已知，求的值． 17．已知m、n是一元二次方程的两个根，求的值 18．在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为，求的值． 19．已知方程的两根、也是方程的根，求、的值． 20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：需为无理数． 第二讲 判别式——二次方程根的检测器 为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等．我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题． 【例题求解】 【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【例2】 已知三个关于的方程：，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是( ) A． B．或 C． D． 【例3】 已知关于的方程， (1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形△ABC的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．