多项式拟合与插值.ppt

* 在生产和科学实验中，自变量x与因变量y之间的函数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值. 当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数在该点的数值. 这就要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的. 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法： ① 测量值是准确的，没有误差，一般用插值. ② 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合. 第六讲 曲线拟合与插值 一. 曲线拟合 已知离散点上的数据集 求得一解析函数y=f(x)，使f(x)在原离散点xi上尽可能接近给定yi的值，这一过程叫曲线拟合. 最常用的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即找出使下式最小的f(x) : 通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则选定最佳的曲线. 1.多项式拟合 多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合，其命令为：格式：p=polyfit(X,Y,n). 说明：求出已知数据(X,Y)的n阶拟合多项式f(x)按降幂排列的系数p，X必须是单调的. 例1.对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合：(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6) 解： [x = 0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y = [1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; plot(x,y) 发现：这些点大致地位于某条直线附近，故可考虑线性拟合： [x = 0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y = [1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; plot(x,y) ) ans: p =2.7937 -0.1540 即拟合函数为：y=2.7937x-0.154 (图6.1) 上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差平方和的大小进行考察（两种方法）： (1)sum((2.7937*x-0.154-y).^2)=0.9136 如果用二次函数进行拟合，则有： p=polyfit(x,y,2) p = 0.5614 0.8287 1.1560 即拟合函数为： 此时误差平方和为： sum((polyval(p,x)-y).^2) =0.1781 根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数 (2)sum((polyval(p,x)-y).^2) )=0.9136 是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点的插值多项式（五次多项式） 通常，给出两点的坐标，我们可以得到一条直线；若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线；…，给出n个点的坐标，我们可以得到一个n-1阶的多项式. 是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问题时，只要达到所需的精度，应尽量选择简单的函数. p = -1.6000 13.7400 -44.0733 65.6650 -42.6317 11.3500 此时多项式在x处的函数值为： polyval(p,x) ans =1.7500 2.4500 3.8100 4.8000 7.0000 8.6000 例2. 某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试验发现：这两种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数学表达式. 2.9 2.54 2.35 1.9 1.8 1.7 1.53 1.83 2.1 2.27 3 3 3.4 y 43 42.5 42 41.5 41 40.5 40 39.5 39 38.5 38 37.5 37 x 解：首先作出散点图: x=37:0.5:43; y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9]; plot(x,y,’*’) 发现：有点像抛物线，故选二次函数拟合. p=polyfit(x,y,2) p = 0.1660 -13.3866 271.6231 即为所求拟合曲线 误差平方和：R=sum((polyval(p,x)-y).^2)= 0.2523 (图6.2) 二.函数插值 1.一维插值 格式一： YI = INTERP1(X,Y,XI,method) X,Y为原始数据，XI, YI为插值出的数值， method是插值所用