第一章 插值 数值分析.ppt

第*页 第*页 第*页 第一章 插值法 Interpolation_introduction §1.1 问题提出—函数逼近 用 Interpolation_introduction 函数逼近的方法有很多，例如Taylor级数，Fourier级数，有限元方法、边界元方法，小波分析等，大学科叫逼近论。 本书讨论连续函数的逼近，主要介绍插值法(chapter 1)和最佳一致逼近、最小平方逼近离散数据拟合(chapter 2) Interpolation_introduction 插值节点 插值条件 ---插值问题 多项式插值是数值分析的基本工具，常用来计算被插函数的近似函数值，零、极点，导数、积分（第三章 数值积分和数值微分），解微分方程，积分方程 插值 当g(x)为多项式时，该插值方法称为代数多项式插值，函数g(x)为插值多项式。 多项式插值 Problem I. 给定y=f(x)的函数表, xi?[a,b] n i y x P i i n , ... , 0 , ) ( = = 求 次数不超过 n 的多项式 使得 条件：无重合节点，即 插值区间 插值条件 插值多项式 插值节点 Interpolation polynomial (2.1) (2.2) x0 x1 x2 x3 x4 x Pn(x) ? f(x) 多项式插值的几何意义 Interpolation polynomial 求 插值多项式的唯一性 提问：Problem I 中的Pn(x)是否存在？ 若存在，是否唯一？如何求？ Interpolation polynomial Interpolation polynomial 插值多项式存在且唯一 关于未知量 的非齐次线性方程组 Interpolation polynomial ? §1.2 拉格朗日多项式 n i y x P i i n , ... , 0 , ) ( = = 求 n 次多项式 使得 条件：无重合节点，即 n = 1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 使得 1 1 1 0 0 1 ) ( , ) ( y x P y x P = = 可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。 ) ( ) ( 0 0 1 0 1 0 1 x x x x y y y x P - - - + = 1 0 1 x x x x - - 0 1 0 x x x x - - = y0 + y1 l0(x) l1(x) ? = = 1 0 ) ( i i i y x l 称为拉格朗日基函数 ， 满足条件 li(xj)=?ij n ? 1 li(x) 每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn = = j i C 0 ? = - n j ? i j x x ) ( - - - i n x x i x x x x C 0 ) )...( )...( ( i x l ) ( ? - = j ? i j x i x i C ) ( 1 = i i x l 1 ) ( Lagrange 插值多项式 与节点有关，而与 f无关 希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=?ij ；然后令 ，则显然有Pn(xi) = yi 。 ? = = n i i n x l x P 0 ) ( ) ( yi ?基函数法（n=1情形的推广） §1.2 Lagrange Polynomial 定理 (唯一性) 满足 的 n 阶插值多项式是唯一存在的。 证明： ( 前面已利用Vandermonde 行列式论证) 反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 则 Qn 的阶数 ? n 而 Qn 有 个不同的根 n + 1 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。 §1.2 Lagrange Polynomial 这与n次多项式只有n个零点的代数基本定理矛盾。故 ? 插值