第一章_极限(1.4).ppt

§1.4 函数的连续性 例1 练习2 练习1 练习3 例2 例3 例4 例5 任务驱动： 引例1、观察函数 在 处的连续性。 引例2、与上例对比：函数 在 处的连续性。 一、函数在一点处连续： 定义1： 设函数 在 及其附近有定义，且 ，则称函数 在 处连续，称 为函数 的连续点。 例1、用定义证明 在 处的连续性。 证明： 所以， 在 处连续。 3、极限值等于函数值， 注意： 可见，函数 在 处连续，必须同时满足三个条件： 1、函数 在 及其附近有定义； 2、极限 存在（即 在 处的左、 右极限都存在且相等）； 思考： 以下式子都可以作为函数在一点处连续的表达式吗? 定义2： 如果函数 在 及其左侧附近有定义，且 ，则称函数 在 处左连续。 如果函数 在 及其右侧附近有定义，且 ，则称函数 在 处右连续。 结论： 在 处连续 在 处既左连续又右连续。 例2、讨论函数 在 处的连续性。 解：由于分段函数 在 的左右两边的 表达式不同，所以先讨论函数 在 处的左、右连续性。 所以，分段函数 在 处左、右连续， 因此， 在 处连续。 二、函数的间断点： 那么，对照函数连续性的定义可知满足下列 三种情况之一的，判断该点就为间断点： 定义：如果函数 在点 不连续， 则称 为 的一个间断点。 (1)函数 在点 处没有定义; (2) 在 处有定义，但极限 不存在; 在 处有定义，极限 存在, 但是 例3（1）考察函数 的间断点。 解： 因为函数 在 处无定义， 所以 一定是 的间断点。 解：考察函数在 处的左右极限， （2）考察函数 的间断点。 即： 不存在，因此 是函数的间断点。 （3）讨论函数 的间断点。 解： 而 显然， ， 为间断点。 解：① ② 练习1：讨论函数 在 与 处的连续性。 解：由题意可知， 故得： 练习2： 已知函数 在点 处连续，求b的值。 练习3： 讨论函数 的连续性。 解： 是初等函数，在其定义区间内连续， 因此我们只要找出 没有定义的那些点。 显然， 在 处没有定义，故 在区间 内连续，在 处间断。 注意： 由以上讨论可知，研究函数 的连续性时， ①若 是初等函数，则由“初等函数在其定义 区间内连续”的基本结论，只要找出 没有 定义的点，这些点就是 的间断点。 ②若 是分段函数，则对分界点往往要从左、 右极限入手讨论其连续性；对非分界点，一般 仍按该点所在的那一段区间上函数的表达式， 像初等函数那样进行讨论。 三、连续函数的运算： 定理1：如果函数 在点 处连续， 则 在点 处都连续。 定理2（复合函数的连续性）： 设函数 在点 处连续， 在 处连续，且 则复合函数 在点 处连续，即： 例如： 1、基本初等函数在其定义域内都是连续的。 2、初等函数在其定义区间内都是连续的。 四、初等函数的连续性及其运算： 因为1 是初等函数 定义区间内的点， 例4、 解：因为a是初等函数 定义区间内的点，