第一章极限与连续课题三函数极限的计算.ppt

函数与极限 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 五、函数极限的四则运算法则 六、无穷递缩等比数列求和 七、两个重要极限 1．重要极限１ 2．重要极限2 5. 解 (无穷小分出法) (无穷小与无穷大的关系) 小结: 无穷小分出法:以分子分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. [例4] 解 先变形再求极限. [例5] 解 (不能用函数极限的四则运算法则2来求! ) [例6] 解 左右极限存在且相等, (1) 解 [例7] (2) 解 [例7] 思考题 解 练习题 1． 解 [例８] 2． 解 [例８] 3． 解 [例８] 4． 解 [例８] 等价无穷小代换定理 [例9] 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 [例10] 解 [例11] 解 解 错 [例12] 求下列极限 解 [例12] 求下列极限 解 [例12] 求下列极限 解 思考题 求极限 练习题 通过本课题学习，学生应该达到： 1．熟记无穷小的性质、极限的四则运算法则、无穷大与无穷小的关系、两个重要极限； 2．会用无穷小的性质、极限的四则运算法则、无穷大与无穷小的关系、两个重要极限和等价无穷小求函数的极限。 【课后练习】 【授课小结】 1．P005 习题1-3（一）； 2．P005 习题1-3（二）； 3．P005 习题1-3（三）。 * 高 等 数 学 电 子 教 案 * 第一章 极限与连续 课题三 函数极限的计算 * * 返回 * 【授课时数】 总时数：6 学时. 【学习目标】 1、知道无穷小和无穷大的定义； 2、会用无穷小的性质、极限的四则运算法则、无穷大与无穷小的关系、两个重要极限求函数的极限。 【重、难点】 重点：无穷小与无穷大的定义、极限的四则运算法则和两个重要极限，由观察函数的变化趋势引出。 难点：正确求解函数的极限和左右极限，由实例讲解方法。 1．定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小. 例如 而 注意 （1）无穷小是以极限为零的变量,不能与很 （2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变 小的常数混淆; （3）常数中只有零是无穷小. 化趋势； 2．运算性质 定理１ 在自变量同一变化过程中, (1) 有限个无穷小的代数和仍是无穷小; (2) 有限个无穷小的乘积仍是无穷小; (3) 无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. [例1] 解 [例1] 解 [例1] 解 [例1] 解 思考题 解 3．无穷小与有极限函数的关系 特殊情形：正无穷大(或负无穷大)． 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. [例2] 解 解 下面我们再来看一个现象 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 定义 *四、无穷小的比较 由无穷小比较的定义知 思考题 解 练习题 法则1和法则2可推广到有限个函数情形. 常数因子可以提到极限记号外面. 1. 解 [例3] 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 2. 解 3. (约去零因子法) 4. 解 (无穷小分出法) * *