第七章--插值.ppt

第1章 插 值 概念 问题 存在唯一定理 多项式插值的Lagrange型 如何找？ 线性插值 二次插值 误差 事后误差估计 Newton型多项式插值 Newton插值构造 例子 一些性质 差商性质总结 1.4 Hermite插值 误差分析 二重密切Hermite插值误差 分段低阶插值 Runge现象 分段线性插值 三次样条插值 m关系式 整个构造步骤如下： 1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数 2、假设一组基函数，列出插值多项式 3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数 称为 构造基函数方法 类似Lagrange插值的分析方法 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 Ln(x) ? f (x) ? 是否次数越高越好呢？ 例： 等距节点构造10次Lagrange插值多项式 -0.90 0.04706 1.57872 -0.70 0.07547 -0.22620 -0.50 0.13793 0.25376 -0.30 0.30769 0.23535 1901年，Runge 等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。 每个小区间上，作线性插值 (1) (2) 在每个小区间上为一个不高于1次的多项式 分段低次插值 特性 误差 可以看出 收敛，可惜只一阶精度，不够光滑。 类似，可以作二重密切Hermite插值 关键： 分段、低阶插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中， 对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导 数，称为三次样条函数插值。 每个小区间不高于3次， 有4n个未知数，我们的已知条件如下： 共3n-3+n+1=4n-2个条件 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS * 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 x0 x1 x2 x3 x4 x g(x) ? f(x) 定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 是否存在唯一 如何构造 误差估计 有解 系数行列式不为0 设 则 与基函数无关 与原函数f(x)无关 基函数个数与点个数相同 特点： 定理1.1 ： 为n＋1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当 对应于 则 Vandermonde行列式 在基函数上下功夫，取基函数为 要求 则 求 ，易知： 例： 例：已知 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50? 并估计误差。 §1 Lagrange Polynomial 解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 ?利用 这里 而 ?sin 50? = 0.7660444… ) 18 5 ( 50 sin 1 0 ? ? p L 0.77614 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 ? ?0.01001 ?利用 sin 50? ? 0.76008, 内插 /* interpolation */ 的实际误差 ? 0.00596 内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。 n = 2 ) 18 5 ( 50 sin 2 0 ? ? p L 0.76543 ?sin 50? = 0.7660444… 2次插值的实际误差 ? 0.00061 高次插值通常优于低次插值 解： 求 设 易知 有n+2个零点 由a的任意性 给定 任取n+1个构造 如： 另取 则 近似 则 Lagrange 插值的缺点 无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算 且 同样 承袭性： 为实数 而且有： 这样： 称为k阶差商 称为1阶差商 定义：差商 由归纳： 此处用到差商的一个性质： （用归纳法易证） 对称性： 定义关键：找不同的