第三章+优化设计的某些概念和理论.ppt

二、凸函数 具有凸性（表现为单峰性）或只有唯一的局部最优值亦即全域最优值的函数，称为凸函数或单峰函数。其数学定义是： 设 f（X）为定义在 n维欧氏空间中的一个凸集D上的函数，如果对任何实数a（0a1）以及对D中任意两点X(1)、X(2)恒有: 则f（X）为D上的凸函数，若不满足上式，则为凹函数。 凸函数的集合意义如图所示： 一元凸函数的几何意义 在凸函数曲线上取任意两点（对应于X轴上的坐标X(1)、X（2））联成一直线线段，则该线段上任一点（对应于X轴上的X(k)点）的纵坐标Y值必大于或等于该点（X(k)）处的原函数值f(X(k))。 凸函数的一些性质： 1）若 f（X）为定义在凸集D上的一个凸函数，且 a是一个正数（a 0），则 af（X）也必是定义在凸集D上的凸函数； 3）若f1(X），f2(X )为定义在凸集D上的两个凸函数，α和β为两个任意正数，则函数 afl（X）＋βf2(X)仍为D上的凸函数。 2）定义在凸集D上的两个凸函数f1(X），f2(X)，其和 f（X）=f1（X）十f2（X）亦必为该凸集上的一个凸函数； 1）若f（X）为定义在凸集D上且具有连续一阶导数的函数，则f（X）为凸函数的充分必要条件为： 对任意两点X（1），X（2），不等式 三、凸性条件 恒成立 2）设f（X）为定义在凸集R上具有连续二阶导数的函数，则f（X）在R上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵G(X)在R上处处正定或半正定。 3.1.5 函数的单调性 单调递增函数 3.3 约束最优解及其最优性条件 优化设计是求n个设计变量值在满足约束条件下使目标函数值达到最小，即 称x*为最优点和f(x*)为最优值。最优点和最优值即构成了一个约束最优解。 有约束问题最优点的几种情况 有适时约束 目标函数是凸函数,可行域是凸集，则目标函数等值线与适时约束曲面的切点为最优点，而且是全局最优点。 无适时约束 目标函数是凸函数，可行域是凸集，则最优点是内点。相当于无约束问题的最优点。 · · X* f (x) · x* 有适时约束 目标函数是非凸函数（图 a），或可行域是非凸集（图 b）： 则目标函数等值线与适时约束曲面可能存在多个切点，是局部极值点，其中只有一个点是全局最优点。 有约束问题最优点的几种情况 p Q Q p 如果一组设计变量x1*, x2*, x3*,… xn*, 仅使目标函数取最小值，而不受任何约束条件的限制，即 称x*为最优点和f(x*)为无约束最优解。 例3-5 消元法 海赛（Hessian）矩阵 正定，即各阶主子式均大于零，则X*为极小点。 例3-6 无约束最优解的最优性条件： 海赛（Hessian）矩阵 负定，即各阶主子式负、正相间，则X*为极大点。 约束最优解的最优性必要条件： 库思—塔克条件也可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度一定能够表示成所有起作用的各约束函数在该点梯度（法向量）的非负线性组合，即 K-T条件 同时具有等式和不等式约束的优化问题 : K-T条件： K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。 对于目标函数和约束函数都是凸函数的情况， 符合K-T条件的点一定是全局最优点。这种情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。 K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。 例库恩—塔克（K-T）条件应用举例 s.t 判断[1 0]T是否为约束最优点。 (1)当前点 为可行点，因满足约束条件 (3) 各函数的梯度： （2）在 起作用约束为g1和g2 , 因 （4）求拉格朗日乘子 由于拉格朗日乘子均为非负，说明 是一个局部最优点，因为它满足K-T条件。 s.t 3.4 优化问题的数值计算法及收敛条件 数值计算的迭代法：完全依赖于计算机的数值计算特点产生的，它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定迭代格式计算的一种方法。 基本思想： 从设计点 x(k)出发，根据函数在该点的某些（局部）性质，确定本次有哪些信誉好的足球投注网站的方向 S(k) 和步长因子α(k) ，从而达到一个新点 x(k+1),…逐步调优，最终达到或逼近目标函数的最优点。 迭代公式： x(k+1) = x(k) +α(k) S(k) x(k)——第k步迭代计算所得到的点，称第k步迭代点， α(k)——第k步迭代计