第三章函数的极限3-3 函数极限存在的条件.ppt

数学分析 第三章 函数极限 高等教育出版社 §3 函数极限存在的条件 归结原则 单调有界定理 柯西收敛准则 复习思考题 数学分析 第三章 函数极限 高等教育出版社 一、归结原则 在这一节中,我们仍以 为代表, 介绍函数极限存在的条件. 对于其他类型的极限,也有类似的结论. §3 函数极限存在的条件 数学分析 第三章 函数极限 二、单调有界定理 三、柯西收敛准则 *点击以上标题可直接前往对应内容 定理3.8 归结原则 件是: 都存在, 并且相等. 证 (必要性) 设 则对任给 存在的充要条 那么对上述 存在 以 x0 为极限的任何数列 对于在 §3 函极限存在的条件 后退 前进 目录 退出 归结原则 所以 这就证明了 (充分性)(下面的证法很有典型性) 有 时, 不以 A 为极限, 设任给 归结原则 现分别取 对于任意正数 使得 则存在正数 存在相应的 另一方面, 所以 这与 矛盾. 注 归结原则有一个重要应用： 若存在 但是 不存在. 归结原则 使得 例1 都不存在. 解 故 不存在. 归结原则 故 不存在. 密集的等幅振荡, 当然不会趋于一个固定的值. 了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则,我 们写出 时的归结原则如下： -1 -0.5 0.5 1 1 -1 的图像在 x = 0 附近作无比 从几何上看， 为 归结原则 定理3.9 则 的某空心右邻域 有定义, 作为一个例题, 下面给出定理 3.9 的另一种形式. 义. 的充要条件是任给严格递减 的 例 2 的某空心右邻域 上有定 归结原则 证 必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性. 则存在正数 不以 A 为极限. 这样就得到一列严格递减的数列 这与条件矛盾. 归结原则 定理3.10 单调有界定理 设 f 为定义在 上的单调有界函数, 则右极限 （相信读者也能够写出关于 因为 f (x) 有界, 故 的单调有界定理 .） 证 不妨设 f 在 由确界定义,对于 存在, 设为A . 单调有界定理 由 f (x) 的递减性, 这就证明了 对于单调函数, 归结原则的条件就要简单得多. 单调有界定理 证 必要性可直接由归结原则得出, 下面证明充分性. 假设 递减． 单调有界定理 例3 存在的充要条件是存在一个数列 单调有界定理 对于任意 当 时, 有 定理3.11 柯西收敛准则 的柯西收敛准则, 请读者自 这里 仅给出 设 f (x) 在 的某个邻域 上 明之. 行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证 则极限 存在的充要条件是: 有定义, 柯西收敛准则 证（必要性） (充分性) 则对于任意 柯西收敛准则 对一切 x X， 柯西收敛准则 这样就证明了对于任意的 存在且相等. 存在. 由归结原则, 但是 注 由柯西准则可知, 不存在的充要条件是 柯西收敛准则 例如, 定理3.8 中的条件“并且相等”这几个字是否可以 省略? 数学分析 第三章 函数极限 高等教育出版社 §3 函数极限存在的条件 归结原则 单调有界定理 柯西收敛准则 复习思考题 数学分析 第三章 函数极限 高等教育出版社