第三章函数的极限3-1 函数极限概念.ppt

例9 证明狄利克雷函数 证 处处无极限. 单侧极限 则有 也有 证毕. 例10 对于黎曼函数 证 因为在 (0, 1) 中分母小于 N 的有理数至多只有 个 , 单侧极限 故可设这些有理数为 这就是说，除了这 n 个点外 , 其他点的函数值都 对以上两种情形都有 这就证明了 小于 ? . 单侧极限 所以 注 有兴趣的读者可以证明： 单侧极限 我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能 否构造一个函数，它仅在 处有极限. * 数学分析 第三章 函数极限 高等教育出版社 §1 函数极限概念 x趋于?时的函数极限 x趋于x0 时的函数极限 单侧极限 复习思考题 数学分析 第三章 函数极限 高等教育出版社 一、x趋于?时的函数极限 在本章,我们将讨论函数极限的基本概念和重要性质.作为数列极限的推广,函数极限与数列极限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就是归结原理. §1 函数极限概念 数学分析 第三章 函数极限 二、 x趋于x0 时的函数极限 三、单侧极限 *点击以上标题可直接前往对应内容 x趋于?时的函数极限 极限. f(x)当 x 趋于 时以A为 我们就称 函数f (x) 当 x 沿着 x 轴的正向 上, 无限远离原点时, 也无限地接近A, 定义在 设函数 后退 前进 目录 退出 x趋于?时的函数极限 趋于 例如 函数 当 时, 10 20 30 40 O 0.5 1 为极限. 以 x趋于?时的函数极限 定义1 记为 或者 A 为常数. 若对于任意正数 使得 存在 x趋于?时的函数极限 ④ ③ ①任意给定 ②存在 x趋于?时的函数极限 ④ ③ ①任意给定 ②存在 x趋于?时的函数极限 注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 所以(由定义1), 例1 证明 任给 证 取 与不同点. 比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点 请大家 x趋于?时的函数极限 例2 证 任给 这就是说 x趋于?时的函数极限 定义2 记为 或 则称 x趋于?时的函数极限 定义3 记为 或 存在 当 x趋于?时的函数极限 证 对于任意正数 这就是说 例3 证明 x趋于?时的函数极限 例4 证明 所以结论成立. 证 对于任意正数 ? , x趋于?时的函数极限 定理3.1 从定义1、2 、3 不难得到: 则由定理 3.1， 的充要条件是： 例如 x趋于?时的函数极限 x趋于x0 时的函数极限 设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 　　　内有定义. 为极限的定义. 下面我们直接给出函数 f (x) 　　　　时以常数 A x趋于x0 时的函数极限 定义1 或者 记为 x趋于x0 时的函数极限 x趋于x0 时的函数极限 例5 证明 分析 时, 使 x趋于x0 时的函数极限 这就证明了 证 只要 式就能成立, 因 x趋于x0 时的函数极限 故取 即可. 例6 证明 因为此时有 可以先限制 故只要 所以 要使 分析 x趋于x0 时的函数极限 这就证明了 证 有 x趋于x0 时的函数极限 例7 证明： 注 在例5、例6中, 我们将所考虑的式子适当放大, 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 其目的就是为了更简洁地求出 ? , 或许所求出的 ? x趋于x0 时的函数极限 证 首先，在右图所示的单位圆内, 显然有 即 故 x趋于x0 时的函数极限 O C D B A y x x 同理可证: x趋于x0 时的函数极限 例8 证明： 证 因为 则 这就证明了所需的结论. x趋于x0 时的函数极限 在上面例题中, 需要注意以下几点： , 我们强调其存在性. 1. 对于 的 不同的方法会得出不同的? , 不存在哪一个更 好的问题. 数都可以充当这个角色. 3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数. , 那么比它更小的正 是不唯一的, 一旦求出了 换句话说,对于固定 有时为了方便,需要让 ? 小于某个正数. 当然也能满足要求. 样的 ? 能找到相应的 ? , 那么比它大的 ? , 这个 ? 一旦对这 x趋于x0 时的函数极限 平面上以 y =A为中心线, 宽为 的窄带, 可以找到 使得曲线段 4. 函数极限的几何意义如图, 对于坐标 落在窄带内. x趋于x0 时的函数极限 单侧极限 x 既可以从 x0 但在某些时 在定义区间的端点和分段函数的分界点等. 候,我们仅需(仅能)在 x0的某一侧来考虑, 比如函数 单侧极限 定义5 则称 A 为函数 f