第三章：行波法积分变换法.ppt

朱红波 第三章 行波法、积分变换法 第一节 一维波动方程的达朗倍尔解法(行波法) . Fourier变换 Fourier变换的性质 2. 拉普拉斯变换存在定理: 若函数 满足下列条件： 的任意有限区间上分段连续； 在 使得 即存在常数 时， 的增长速度不超过某一指数函数, 当 成立，则 的拉普拉斯变换 对一切的 一定存在，其中c称为函数 的增长指数 拉普拉斯逆变换 又称 原函数 为像函数 举例 (1) 求 (2) 求 (3) 求 (4) 求 3. 性质 (1) 线性性质 若 和 ，则 例 求 同理 (2) 微分性质 证明 一般地， (3) 积分性质 证明 设 故 由于 故 (4) 相似性质 (5) 位移性质 (7) 卷积定理 f(x) 和 g(x)的卷积 则有 例二、设有一条半无限长各向同性的均匀导热杆， 杆与周围介质绝热，不考虑热源，它的有界的一端 ( ） 温度的变化情况为已知，并假设在初始时刻 时杆上温度为 ，研究杆上温度分布随时间变化的规律。 它可表为以下的定解问题： (用拉普拉斯变换求解)考虑作关于时间变量 的拉普拉斯变换 Laplace变换应用 * 广东工业大学应用数学学院 数学物理方程 Fourier 变换 积分变换法: 通过积分变换, 将偏微分方程的某些定解问题化为常微分方程定解问题来求解。 在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题的方法，行波法与积分变换法. 行波法又称为达朗倍尔方法，它是求解无界域内波动方程定解问题的一种有效的方法。 Laplace 变换 物理解释： 认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫外力作用。它可用来描述弹性体的振动、声波、电磁波等波动的传播。 一、一维波动方程的达朗倍尔解：考虑无界弦的自由振动问题： 给我们以启发，通过适当的变量代换，令 将泛定方程改写成以下形式： 方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式： 回到原来的变数x及t，立即得到泛定方程的解的一般形式即其通解为 其中F及G为任意的单变量的二阶连续可微函数。 由式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形如F(x+at)与G(x-at)的两个函数之和。 其中 u=F(x+at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的波形，以速度a0向左（即x轴反向）传播，而波形保持不变，它称为左传播波； u= G(x-at)则表示以速度a向右传播的波， 称为右传播波。 方程的形如u=F(x+at)或u=G(x-at)的解称为行波。 右传播波 左传播波 弦振动方程的通解表达式说明: 弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右两个方向传播出去。 下面我们看到，通过把方程的解表示为右传播波和左传播波的迭加，可用来求定解问题的解。这个方法称为行波法。 代入初始条件，可得 （1） （2） 将（1）式两端关于 x 求导一次，得 （3） 由（2）、（3）两式，解得 再将以上两式关于x 积分一次就得到 其中c1与c2是常数。由 c1+c2=0. 得到 这个公式称为达朗贝尔公式。 最后我们可得 举例，求解弦振动方程的柯西问题 由达朗贝尔公式可得其解为： 设 是定义在R上的函数，且 则 可以展开为Fourier 级数 其中 第二节 一维定解问题的积分变换法 傅里叶积分定理:设f 在 内满足下面两个条件： （1）积分 存在； （2） f(x) 在 内满足狄里克莱条件：在任意有限区间至多有有限个第一类间断点,而且只有有限个极值点，则 若左端的 f(x)在它的间断点x 处， 定义： 如果 f(x) 满足傅里叶积分定理的条件，则定义 f(x) 的傅里叶变换为 称为 的象函数， 定义 的傅里叶逆变换为 称为 的象原函数。 Fourier积分定理可以写为 称为反演公式 以下举例说明 例1. 求函数 的Fourier变换 例2. 求函数 的Fourier变换 Fourier变换及其逆变换是线性变换 2. 位移性质 设 ，则 或 3. 相似性质 4. 微分性质 5. 积分性质 6. 对称性质 特别地, 若当 时, 则　 7. 卷积性质 如果对于f(x)与g(x), 使得 存在，则定义f(x)与g(x)的卷积为 卷积定理 （1） 或 （2） 证明 用积分变换法求解定解问题思路： 选择适当的变换 定解问题 对泛定方程取变