第三节-二阶常系数线性微分方程的解法.ppt

二阶常系数齐次线性方程解的性质 二阶常系数齐次线性方程解的性质 二、二阶常系数齐次线性方程的解法 三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 练习： * 第三节 二阶常系数线性微分方程的解法 一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构 二阶常系数线性微分方程的标准形式 其中a,b是常数. (1) (2) 称为二阶常系数齐次线性微分方程。 回顾 一阶齐次线性方程 1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； 1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解； 也是(2)的解. (称线性无关), 则上式为(2)的通解. 定理1 (2) 代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值). (3) (2) 故它们线性无关, 因此(2)的通解为 (3) 情形1 情形2 需要求另一个特解 情形3 可以证明, 是(2)的解， 且线性无关， 所以方程(2)的通解为 小结 特征根的情况 通解的表达式 实根 实根 复根 解 特征方程为 故所求通解为 例1 例2 解 特征方程为 解得 故所求通解为 特征根为 解 特征方程为 故通解为 例3 特征根为 对应齐次方程 (1) (2) 1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解； 2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 . 定理2 那么方程(1)的通解为 问题归结为求方程(1)的一个特解. 只讨论 f (x) 的两种类型. 用待定系数法求解. 对应齐次方程 (1) (2) 那么方程(1)的通解为 定理2 则 情形1 若 r 不是特征根, 即 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 综上讨论 设特解为 其中 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例4 代入原方程,得 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程， 原方程通解为 例5 得 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例6 代入方程, 得 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例6 注意： 现即 即得 这样比代入原方程要简便得多。 解 例7 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 此时原方程的通解为 可以证明,方程(1)具有如下形式的特解: 解 例8 所求通解为 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程,得 解 例9 所求通解为 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程,得 定理3 (非齐次线性方程的叠加原理) 和 的特解, 的一个特解, 例10 解 代入得 解 代入得 原方程通解为 例10 解 例11 是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解, 故(B)也不对； 二阶非齐次线性微分方程 * * *