第三节空间曲面与曲线.ppt

* 例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 1.曲面方程的一般概念： 而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形。 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程 F(x,y,z) =0， 一.曲面及其方程： 解：设 M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是|AM|=|BM| §3 空间曲面与空间曲线 由距离公式得 整理得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ③坐标面yoz 、坐标面xoz以及过点(a,b,c) 且分别与之平行的平面方程为： x=0; y=0; x=a; y=b ②过点(a,b,c)且与xoy面平行的平面方程:z=c ①坐标平面xoy的方程：z=0 ①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 如： x2+y2+z2+2x-2y-2=0 整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 ②球面的一般方程： 3. 球面方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 特点：平方项系数相同；没有交叉项。 表示一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程： 一般我们将动直线L沿定曲线c平行移动所形成的轨迹称为柱面。其中直线L称为柱面的母线，定曲线c称为柱面的准线。 母线平行于坐标轴的柱面的特点为：缺一个变量，母线平行于未出现哪个变量的同名坐标轴。 若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为 F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 此时有以下结论： 本章中只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 同理， G(x,z)=0, H(y,z)=0在空间中分别表示母 线平行于y轴和x轴的柱面。 圆柱面； 椭圆柱面； 双曲柱面； 抛物柱面。 以上所举例均为母线平行于 z轴的情况，其他情况类似。 （1）x+y=a 几种常见柱面： （2） （3） （4） （5） 平面； 一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，L称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。 设yoz平面上有一已知曲线c其方程为f(y,z)=0，将c绕z轴旋转一周后,设曲面上任一点为P(x, y,z ),过点P可作圆面，其与z轴相交得到的点为M(0, 0,z )，与曲线c的交点为N(0, y1,z ),此三点满足方程： 现在建立方程： 4.旋转曲面： 点N满足方程 c M P N 曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为： 绕z轴为 绕z轴为 同理， 同理， 设xoz平面上有一已知曲线c其方程为f(x,z)=0， 绕x轴为 设xoy平面上有一已知曲线c其方程为f(x,y)=0， 绕x轴为 特点： （1）旋转曲面总有两个变量的平方的系数相同。 （2）求旋转曲面方法：绕哪个轴旋转，那个变量 就不变，另一个变量变成 如： 平面上的曲线 绕x轴旋转得曲面方程： 即 绕y轴旋转得曲面方程： 即 空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为 称此方程组为曲线c的一般方程。 例1：方程组 表示怎样的曲线？ 解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。 1.空间曲线的一般方程： 二.空间曲线及其方程： 解： 表示母线平行于z轴，准线在xoy 它们的交线是xoy面上的一个圆. 例2:方程 表示怎样曲线? 表示中心在原点，半径为a的上半球面 面上其圆心在 ，半径为 的圆柱面 2.空间曲线的参数方程： 方程组 称为空间中曲线的参数方程。 设空间曲线方程 如果选定一个适当的函数x=x(t)代入上述方程组,并由它解出y=y(t),z=z(t)得 例3：如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度绕z轴旋转，同时，以等速度v沿平行于z轴的正方向移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程 P 同时又在平行于z 轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面 y z 0 x a x = y = z = acos t bt M(x,y,z) asin t t M 螺线从点P ? Q 当 t 从 0 ? 2?， 叫螺距 N . Q （移动及转动都是 等速进行，所以z 与t成正比。) 点P在圆柱面上等 速地绕z轴旋转； 三.空间曲线在坐标面上的投影： 在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L ，母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于 此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲线，简称投影，其方程为