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第九章 微分方程习题课 一阶微分方程 * 一、基本概念 1． 一阶微分方程的定义 或 2．一阶微分方程的解、通解 一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解 一阶微分方程的解：使微分方程 恒成立的 . 3．一阶微分方程的特解 4．一阶微分方程的类型 （1）可分离变量方程： （2）齐次方程： （3）一阶线性微分方程： 初始条件： . 特解：初值问题 的解。 二、解题方法流程图 求一阶微分方程通解的关键是先判定方程的类型，而判定方程类型的一般方法和思路是： （1）先用观察法判定是否为可分离变量方程，若是分 离变量，两边积分即可得到其通解，否则转入下一步。 (齐次方程) (一阶线性方程) （2）解出 的解析式：判别是否为下面类型的方程： 对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如 果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； 一阶微分方程的解题方法流程图如下。 C．变换自变量和因变量（即有时把 看成自变量，而 考虑 的方程类型）。 求 通解 一阶线性方程 通解为 贝努利方程 其它一般 方程 令 一阶线性方程 变量代换 齐次方程 令 可分离变量 全微分 方程 可分离变量方程 在G内取 通解 隐式通解 可分离变量 Yes Yes No 解出 No 解题方法流程图 三、典型例题 解：分离变量为 积分得 分析：用观察法，可见它是可分离变量方程。 【例1】 求解微分方程 。 因此，所求通解为 . 分析：将方程变形，得 此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。 【例2】求微分方程 的通解。 解：令 ,于是 ,上式可化为 分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为 即 , 为可分离变量的方程 分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。 【例3】求微分方程 的特解。 解法1：对应齐次方程为 分离变量解得 代入原方程得 由常数变易法，令 ，则 解得 所以原方程通解为 特解为 将 代入得 特解为 将 代入得 解法2：因为 ， ，利用求解公式得 【例4】求微分方程 的通解. 分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常见的已知类型的方程，即按通常的想法——将 当作自变量，则方程为非线性方程 。 但若将 当作因变量，即将方程改写为 此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。 解：因为 由公式得原方程的通解为 所以 为一阶线性微分方程 分析：可将方程变形为 ，此方程为齐次方程； 所以按框图中的方法分别求解。 也可将方程变形为 ，此方程又为贝努利方程， 令 ，代入原方程得 解得 ，即 解法1：将原方程整理成 ,即标准的齐次方程， 【例6】求方程 满足 的特解。 代入 有 ，原方程特解是 数的一阶线性方程，解之得 即 解法2：整理原方程得 ，为贝努利方程。 令 代入原方程得 ，是以 为未知 代入 有 ，原方程特解是 分析：此等式中含有积分上限函数，因此想