第九章 常微分方程2.ppt

求微分方程的通解 解： 特征方程 设方程有特解 代入微分方程得 微分方程的通解为 解： 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 (二重) (2) 求非齐次方程的特解 代入方程, 得 所以 原方程通解为 特征根 代入方程, 得 设特解 设想有特解 关于A与B的二元一次方程组 （1） 特解为 （2） 设想有特解为 代入微分方程 解： (1) 求对应齐次方程 特征根 其通解 特征方程 的通解 (2) 求非齐次方程 的特解. 原方程通解为 求微分方程的一个特解 解： 设方程有特解 代入方程得 特解为 解： 特征方程 齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程, 得 通解为 为特征方程的单根, 因此设非齐次方程特解为 设非齐方程特解为 求导代入原方程 综上讨论 不是特征根 是特征单根 是特征重根 解: 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 (2) 求非齐次方程的特解 此题 其中 ? 代入方程, 得 原方程通解为 对应齐次方程通解 解： 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数, 得 于是求得一个特解 * 可降阶的二阶微分方程 不显含未知函数y的方程 通积分 求解一阶微分方程 解： 分离变量得 两边积分可得 即 分离变量并积分 解： 分离变量并积分得 分离变量并积分得 可降阶的二阶微分方程 降阶 通积分 解： 分离变量并积分可得 相应的通积分为 解： 再次用分离变量法 所求特解为 即 n 阶 方程 二阶常系数非齐次线性方程 线性微分方程 常系数 二阶 常系数 齐次 线性 形如 二阶常系数线性微分方程 ----- 特征方程法 将其代入方程, 故有 特征根 二阶 设有解 得 特征方程 常系数 齐次 线性方程 二阶常系数齐次线性方程解法 其中 r 为待定常数. 两个线性无关的特解 有两个不相等的实根 的通解的不同形式. 特征根 r 的不同情况决定了方程 特征方程 得齐次方程的通解为 设有解 其中 r 为待定常数. 有两个相等的实根 设 取 则 知 得齐次方程的通解为 设有解 其中 r 为待定常数. 有一对共轭复根 的两个线性无关的解. 欧拉(Euler)公式: 设有解 其中 r 为待定常数. 叠加原理 重新组合 解: 特征方程 故所求通解为 特征根 解: 特征方程 故所求通解为 特征根 解初值问题 解: 特征方程 特征根 所以方程的通解为 (二重根) 特解 特征方程 特征方程的根 通解中的对应项 n阶常系数齐次线性方程解法 若是 k 重根 r 若是 k 重共轭复根 包含 k 个线性无关的解 包含 2k 个线性无关的解 注意 一个根都对应着通解中的一项, n 次代数方程有 n 个根, 而特征方程的每 且每一项各 乘以一个任意常数. 求方程 解 的通解. 特征方程 故所求通解为 特征根 即 和 特征根 故所求通解 解: 特征方程 对应的特解 (3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解 (1) 写出相应的特征方程 (2) 求出特征根 小结 二阶常系数齐次线性方程 特征根的情况 通解的表达式 实根 实根 复根 求通解的步骤: 方程 Y 是对应齐次方程 通解结构 难点 方法 二阶 常系数 非齐次 线性 如何求非齐次方程特解 y*? 待定系数法. 的通解, y*是非齐次方程的一个特解. 二阶常系数非齐次线性方程 设想有解 解方程 设想有解 解方程 设想有解 解方程 特征方程 1. 0 不是齐次方程的特征根 2. 0 是齐次方程的单特征根 3. 0 是齐次方程的重特征根 求微分方程的通解 解： 特征方程 齐次方程通解 0不是特征根 代入原方程得 比较同次项系数得： 通解为 设想有特解 设想有特解 即 设想有特解 即 ① ② 设想有特解